1.2. Понятия генеральной совокупности и выборочных характеристик

Методы математической статистики позволяют анализировать результаты опытов или наблюдений и строить оптимальные математико-статистические модели массовых, повторяющихся явлений, изменчивость которых обусловлена рядом неуправляемых факторов.

Генеральная совокупность – множество всех наблюдений, которые могут быть сделаны при данном комплексе условий. Под комплексом условий обычно понимают объективно существующие условия, определяющие те закономерности, в соответствии с которыми происходит случайное варьирование признаков при повторении наблюдений.

Так как во многих случаях обследование всей генеральной совокупности (всех изделий, которые могли бы быть изготовлены при данном технологическом режиме) либо слишком трудоемко, либо принципиально невозможно, то в практике контроля часто ограничиваются лишь некоторой выборкой из генеральной совокупности, т.е. рядом наблюдений х₁, х₂ ,…,х_n исследуемой случайной величины Х.

При этом, как правило, подразумевают, что наблюдения х₁, х₂, …, х_n случайно отбирают из генеральной совокупности Х и каждое наблюдение генеральной совокупности имеет одинаковую вероятность быть отобранным.

Упорядоченное представление данных называют ранжированием. Для получения статистического ряда необходимо не только ранжировать статистический материал, но и подвергнуть его дополнительной обработке, объединив одни и те же значения в группы. Число случаев в группе для каждого из повторяющихся значений называют абсолютной частотой или статистическим весом этого значения случайной величины.

Изменение фиксируемых значений случайной величины может быть дискретным или непрерывным. Дискретным значением случайной величины называют такое, при котором рядом лежащие значения в ранжированном ряду отличаются одно от другого на некоторую конечную величину (обычно целое число). Примером дискретного изменения случайной величины может быть число дефектных изделий в выборках, которые периодически берутся из текущего технологического процесса. Непрерывным изменением случайной величины называют такое, при котором рядом лежащие его значения в ранжированном ряду отличаются одно от другого на сколь угодно малую величину. При непрерывном изменении случайной величины ее распределение называют интервальным. За величину интервала, как правило, принимают его середину, т. е. центральное значение.

Если значение случайной величины находится точно на границе двух интервалов, то можно считать (условно) данное значение принадлежащим в равной мере к обоим интервалам и прибавлять его половину к верхнему, а другую – к нижнему интервалу. Наряду с этим правилом можно рекомендовать следующее: в каждый интервал включаются те наблюдения, числовые значения которых больше нижней границы и меньше или равны верхней.

Число классов, на которые следует группировать статистический материал, не должно быть слишком большим (ряд становится невыразительным и частоты в нем обнаруживают незакономерные колебания), но и не слишком малым (тогда свойства распределения описываются статистическим рядом слишком грубо). Практика показывает, что при достаточно большом числе наблюдений рационально выбирать 10 - 20 интервалов. Ширина интервалов подсчитывается по формуле

, (1.1)

где x_i, x_i+1 – границы интервала; x_max, x_min – максимальное и минимальное значение случайной величины в ранжированном ряду; k – число интервалов.

Кроме того, удобно статистический материал представлять числовыми значениями, которые до некоторой степени отражают существенные характеристики статистического ряда – характеристики положения и рассеяния случайной величины.

Задачи математической статистики практически сводятся к оценке свойств генеральной совокупности по результатам случайной выборки.

Любую функцию Q_n^*(x₁, x₂, …, x_n) от результатов выборочных наблюдений х₁, х₂, …, х_n принято называть статистикой или выборочной характеристикой. Статистики обычно и используются для построения статистических оценок параметров Q генеральной совокупности, когда точные значения этих параметров не известны.