1.5.5. Теорема Чебышева (общий случай)

Рассмотренная выше теорема Чебышева может быть распространена на более сложный случай, а именно, когда среднее арифметическое значение n независимых случайных величин распределены неодинаково. И в этом случае, если дисперсия каждой из n случайных величин ограничена сверху одной и той же постоянной величиной, среднее арифметическое значение является устойчивым и сходится по вероятности к определенной неслучайной величине.

Теорема Чебышева. Если Х₁, Х₂, …, Х_n – независимые случайные величины с математическими ожиданиями а₁,а₂, …, а_n и дисперсиями D₁, D₂, …, D_n, причем все дисперсии не превышают постоянной С, то при возрастании n средняя арифметическая наблюдаемых значений величин Х₁, Х₂, …, Х_n сходится по вероятности к средней арифметической их математических ожиданий, т.е.

, (1.120)

где ε – любое положительное число.

Доказательство.

Рассмотрим случайную величину . Напишем ее математическое ожидание и дисперсию:

(1.121)

. (1.122)

Применяя к случайной величине Y неравенство Чебышева (1.110), получим

, (1.123)

или

(1.124)

В последнем неравенстве заменим величиной nc. От этого неравенства может только усилиться, поскольку

(1.125)

Тогда окончательно получается:

(1.126)

Каким бы малым ни было фиксированное число ε, при n→∞ величина дроби , а вероятность

(1.127)

т.е. теорема доказана.

Итак, хотя отдельные независимые случайные величины Х₁, Х₂, …, Х_n могут принимать значения, далекие от их математических ожиданий, средняя арифметическая наблюдаемых значений этих случайных величин с возрастанием n ч вероятностью, близкой к 1, принимает значения, близкие к постоянному числу, равному средней арифметической их математических ожиданий.

1.5.6. Теорема Бернулли

При помощи этой теоремы устанавливается связь между относительной частотой (частостью) события и его вероятностью. Она была доказана Я Бернулли (опубликована в 1713 г.) и положила начало теории вероятностей как науки. Сам Бернулли доказывал эту теорему сложно, в данном пособии приводится более простое доказательство на основании неравенства Чебышева.

Пусть произведено n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления некоторого события А постоянна и равна Р.

Теорема Бернулли. При неограниченном возрастании числа независимых испытаний n относительная частота m/n появление события А сходится по вероятности к его вероятности Р, т.е.

(1.128)

где ε – сколь угодно малое положительное число.

Доказательство. Относительная частота m/n есть случайная величина. Математическое ожидание и дисперсия равны соответственно:

(1.129)

(1.130)

Запишем неравенство Чебышева для случайной величины m/n:

(1.131)

Окончательно получим неравенство

(1.132)

Каким бы малым ни было число ε при n→∞ величина дроби , а

Из теоремы Бернулли следует, что при достаточно большом числе испытаний относительная частота m/n появления события практически утрачивает свой случайный характер, приближаясь к постоянной величине Р – вероятности данного события. В этом и состоит принцип практической уверенности.

Несмотря на то, что при неограниченном возрастании числа независимых испытаний разность может оказаться как угодно малой, все же нельзя сказать, что Такое утверждение было бы совершенно неверным, так как в данном вопросе не выполняются необходимые условия, входящие в состав определения понятия предела. В самом деле, может случиться, что событие А будет происходить при всех последующих испытаниях, начиная с некоторого номера n>N и тогда , но не исключен и тот случай, когда начиная с некоторого номера n>N, событие А не будет происходить ни при одном испытании и тогда .

Значит при неограниченном числе независимых испытаний может случиться, что , но этого может и не случиться.

Тогда возникает вопрос о том, какова вероятность того, что ?

Из теоремы Бернулли ответа на этот вопрос не вытекает, но в более глубоких исследованиях из теории вероятностей доказывается, что при n→∞ .

Следовательно, не по типу , а по вероятности.