1.4.7. Распределение Пуассона

Распределение Пуассона играет важную роль в ряде вопросов физики, теории связи, теории надежности, теории массового обслуживания и т.д. — словом, всюду, где в течение определенного времени может происходить случайное число каких-то событий. (радиоактивных распадов, телефонных вызовов, отказов оборудования, несчастных случаев и т.п.).

Рассмотрим наиболее типичную ситуацию, в которой возникает распределение Пуассона. Пусть некоторые события могут происходить в случайные моменты времени, а нас интересует число появлений таких событий в промежутке времени от 0 до Т. (Например, это могут быть помехи в канале связи, появления метеоритов, дорожные происшествия и т.п.). Сделаем следующие предположения.

1. Пусть вероятность появления события за малый интервал времени длины Δ примерно пропорциональна Δ, т.е. равна аΔ+о(Δ), здесь а>0 — параметр задачи, отражающий среднюю частоту событий.

2. Если в интервале времени длины Δ уже произошло одно событие, то условная вероятность появления в этом же интервале другого события стремится к 0 при Δ→0.

3. Количества событий, происшедших на непересекающихся интервалах времени, независимы как случайные 37еличиины.

В этих условиях можно показать, что случайное число событий, происшедших за время от 0 до Т, распределено по закону Пуассона с параметром λ=аТ.

Определение. Случайная величина ξ, которая принимает только целые, неотрицательные значения 0, 1, 2,…, имеет закон распределения Пуассона с параметром λ>0, если

, для z=0, 1, 2, … . (1.91)

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, имеющей распределение Пуассона с параметром λ, равны:

Мξ=λ; (1.92)

Dξ=λ. (1.93)

Эти выражения несложно получить прямыми вычислениями. Имеем:

_(1.94)

Здесь была осуществлена замена n=z-1 и использован тот факт, что . Аналогично можно вычислить дисперсию случайной величины ξ.

На рис. 9 показаны значения вероятностей Р(ξ=z|λ) для различных значений z и λ.

Рис. 9. Вид распределения Пуассона для различных значений z и λ

Выше уже указывалась связь между распределением Пуассона и биномиальным. Остановимся на этом вопросе более подробно.

При большом п и малом р действует приближенное соотношение:

. (1.95)

где λ=пр.

Этот факт можно сформулировать в виде предельного утверждения: при всяком z, (z = 0,1,2,...).

, (1.96)

если существует

. (1.97)

При λ>9 распределение Пуассона может быть аппроксимировано нормальным распределением со средним λ и дисперсией λ.

Сумма п независимых случайных величин, имеющих пуассоновские распределения с параметрами λ₁, λ₂, …, λ₃ соответственно, имеет также распределение Пуассона с параметром

. (1.98)

Распределение Пуассона является предельным для биномиального распределения, когда вероятность (q≤0,1) мала, число событий велико, а математическое ожидание появления дефектных изделий является ограниченным числом.