1.3. Тригонометрические ряды Фурье
В приложениях математики к задачам радиотехники, теплоэнергетики и физики наиболее распространенной полной ортонормированной системой функций является тригонометрическая система, ортогональная при - l x l
(8)
Вычислив интегралы, можно убедится в справедливости равенств:
Из формул (7) для тригонометрической системы функций (8) получаем коэффициенты Фурье функций f(x)
(n
= 1,2,…).
(9)
Ряд вида
(10)
называется тригонометрическим рядом Фурье порожденным функцией , в честь французского математика Фурье Жан Батиста Жозефа (1768 – 1830 г.), главные открытия которого связаны с построением математической теории теплопроводности твердых тел.
В частности, если функция четная, то её ряд Фурье имеет вид:
(11)
Ряд Фурье нечетной функции имеет вид
(12)
Возникает важный вопрос: при каких условиях на функцию ее ряд Фурье представляет эту функцию и в соотношениях (1.10) - (1) можно поставить знак равенства? Для определенного класса функций ответ на этот вопрос дается теоремой.
Теорема.
(
О разложении.) Пусть кусочно-гладкая на
отрезке
функция f(x)
периодически
с периодом 2l
продолжена на всю бесконечную прямую.
Тогда тригонометрический ряд Фурье
функции (10)
сходится в каждой точке x
из (-
,)
к значению f(x)
в каждой
точке непрерывности и к значению
в точке разрыва, т.е. имеет место равенство
(13)
где
,
,
вычисляются по формулам (9),
f(x±0)
– предельные значения функции слева и
справа в точке разрыва.
Кусочная
гладкость функции на отрезке
означает,
что отрезок можно разбить на конечное
число промежутков, внутри каждого из
которых
непрерывна и имеет непрерывную
производную, причем
и
имеют конечные пределы на концах любого
промежутка.
В комплексной форме тригонометрический ряд Фурье (10) принимает вид
(14)
где
– комплексные коэффициенты Фурье,
связанные с
и
формулами
=
,
=
,
,
,
причем
для вещественной функции
справедливо
.
Если
функция
задана в промежутке
,
то для разложения ее в ряд Фурье можно
рассмотреть периодическое продолжение
разными способами.
1.
Можно считать, что
,
т.е. продолжение
функции имеет период равный
.
Ее ряд Фурье будет содержать и косинусы,
и синусы.
2.
Можно считать, что
,
где
,
,
т.е.
продолженная функция имеет период
и нечетная.
3.
Можно считать, что
,
где
, ,
т.е. продолженная функция имеет период и четная.
Задачи для самостоятельного решения
1. 4, гл.3, §8 №485, №486, №489, №490, №493, №497, №498.
2. 5, гл.15, §2 №4373, №4375, №4386, №4391, №4392.
Литература к п. 1.3. 1, гл.17, §1-7, §10, §12, §15-16, 2, гл.4, §4.1 - 4.6, §4.9-4.11, 3, гл.8, §1-3.
Интегральная формула Фурье.
Интеграл Фурье
Если
отрезок
,
на котором функция
разлагается в тригонометрический ряд
Фурье, неограниченно возрастает (
),
то ряд Фурье превращается в интеграл
Фурье.
Происходит
качественный скачок: заданная на конечном
отрезке функция разлагается в ряд
гармонических колебаний
, (15)
частоты
которых образуют дискретную
последовательность; функция же заданная
на всей оси или полуоси, разлагается в
интеграл, являющийся суммой гармонических
колебаний с частотами, непрерывно
заполняющими всю полуось
.
Пусть функция разлагается в ряд Фурье, т.е. имеет место равенства (15), где в точках непрерывности в левой части равенства стоит . Подставив в (15) выражение для коэффициентов Фурье из (16),
(n = 1,2,…). (16)
Получим после преобразований
=
,
(17)
где переменную интегрирования обозначили t.
Если является абсолютно интегрируемой на всей оси, т.е.
,
то
при
первое
слагаемое в (17) стремиться к нулю.
Следовательно,
=
,
(18)
Обозначим
,
.
Тогда (18) можно записать так
=
,
(19)
При интеграл в (19) становится несобственным интегралом от - до ; сумма в (19) является интегральной суммой. Поэтому из (19) получаем
=
,
(20)
где
в левой части вместо
будет стоять
,
если x
является точкой разрыва функции.
Равенство (20) называется интегральной формулой Фурье, а интеграл в правой части – интегралом Фурье.