4.3. Дисперсия дискретной случайной величины

1. Понятие дисперсии. Математическое ожидание не дает полной характеристики закона распределения случайной величины. Покажем это на примере. Пусть заданы две дискретные случайные величины X и Y своими законами распределения:

	-2	0	2
p	0,4	0,2	0,4

	-100	0	100
p	0,3	0,4	0,3

Несмотря на то, что математические ожидания величин X и Y одинаковы: М(Х) = M(Y) = 0, возможные значения величин X и Y «разбросаны» или «рассеяны» около своих математических ожиданий по-разному: возможные значения величины X расположены гораздо ближе к своему математическому ожиданию, чем значения величины Y.

Укажем еще на один пример. При одинаковой средней величине годовых осадков одна местность может быть засушливой и неблагоприятной для сельскохозяйственных работ (нет дождей весной и летом), а другая  благоприятной для ведения сельского хозяйства.

Из сказанного вытекает необходимость введения новой числовой характеристики случайной величины, по которой можно судить о «рассеянии» возможных значений этой случайной величины. Пусть задана дискретная случайная величина X:

	x1	x2	…	xn
p	p1	p2	…	pn

Определение 1. Отклонением случайной величины X от ее математического ожидания М(Х) (или просто отклонением случайной величины X) называют случайную величину X  М(Х).

Видно, что для того, чтобы отклонение случайной величины X приняло значение x₁  M(X), достаточно, чтобы случайная величина X приняла значение x₁ Вероятность же этого события равна р₁; следовательно, и вероятность того, что отклонение случайной величины X примет значение х₁  М(Х), также равна р₁. Аналогично обстоит дело и для остальных возможных значений отклонения случайной величины X. Используя это, запишем закон распределения отклонения случайной величины X:

Х  М(Х)	x1  M(X)	x2  M(X)	…	xn  M(X)
р	р1	р2	…	рn

Вычислим теперь математическое ожидание отклонения Х  М(Х). Пользуясь свойствами 5 и 1 (4.2, п. 2), получаем

М[Х  М(Х)] = М(Х)  М(Х) = 0.

Следовательно, справедлива следующая теорема.

Теорема. Математическое ожидание отклонения X  М(Х) равно нулю: М[Х  М(Х)] = 0.

Из теоремы видно, что с помощью отклонения X  М(Х) не удается определить среднее отклонение возможных значений величины Х от ее математического ожидания, т.е. степень рассеяния величины X. Это объясняется взаимным погашением положительных и отрицательных возможных значений отклонения. Однако можно освободиться от этого недостатка, если рассматривать квадрат отклонения случайной величины X. Запишем закон распределения случайной величины [X  М(Х)]² (рассуждения те же, что и в случае случайной величины Х  М(Х)).

[Х-М(Х)]2	[x1-M(X)]2	[x2-M(X)]2	…	[xn-M(X)]2
р	р1	р2	…	рn

Определение 2. Дисперсией D(X) дискретной случайной величины X называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины X от ее математического ожидания:

Из закона распределения величины [Х  М(Х)]² следует, что