- •А.П. Бырдин н.В. Заварзин а.А. Сидоренко л.П. Цуканова
- •А.П. Бырдин н.В. Заварзин а.А. Сидоренко л.П. Цуканова
- •Введение
- •1. Ортогональные системы функций и обобщенные ряды фурье. Интегралы фурье
- •1.1. Исторические замечания
- •1.2. Гильбертово пространство. Ряды Фурье в гильбертовом пространстве
- •1.3. Тригонометрические ряды Фурье
- •Интегральная формула Фурье.
- •Условия представимости функции интегралом Фурье
- •2. Преобразование лапласа
- •2.1. Определение преобразования Лапласа
- •Свойства преобразования Лапласа
- •2.3. Применения преобразования Лапласа к решению дифференциальных уравнений и систем
- •4. Решение систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
- •3. Событие и вероятность
- •3.1. Основные понятия. Определение вероятности
- •3.2. Свойства вероятности
- •2. Теорема умножения вероятностей.
- •3. Теорема сложения вероятностей совместимых событий.
- •4. Формула полной вероятности.
- •3.3. Приложения в биологии
- •4. Дискретные и непрерывные случайные величины
- •4.1. Случайные величины
- •1. Понятие «случайные величины».
- •4.2. Математическое ожидание дискретной случайной величины
- •Решение. Используя полученную там таблицу, имеем
- •2. Свойства математического ожидания дискретной случайной величины.
- •4.3. Дисперсия дискретной случайной величины
- •2. Свойства дисперсии дискретной случайной величины.
- •3. Среднее квадратическое отклонение.
- •4. Понятие о моментах распределения.
- •Следовательно, если X имеет распределение
- •4.4. Непрерывные случайные величины
- •3. Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины.
- •4.5. Некоторые законы распределения случайных величин
- •Справедлива следующая приближенная формула
- •Введем функцию
- •Решение. Используя формулу (11), имеем
- •4.6. Закон больших чисел
- •Элементы математической статистики
- •5.1. Генеральная совокупность и выборка
- •5.2. Оценки параметров генеральной совокупности по ее выборке
- •5.3. Доверительные интервалы для параметров нормального распределения
- •5.4. Проверка статистических гипотез
- •Задачи к п. 2
- •Задачи к п. 3
- •Ответы к п. 3
- •Задачи к п. 4
- •Ответы к п. 4
- •Приложение 2
- •Приложение 3
- •Приложение 4
- •Приложение 5
- •Вопросы к экзамену
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •Ортогональные системы функций и обобщенные ряды Фурье. Интегралы Фурье …………...………………..….4
- •Преобразование Лапласа…………………………….….20
- •Событие и вероятность……...………………………….73
- •Дискретные и непрерывные случайные величины…94
- •Элементы математической статистики……………...130
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
2. Свойства дисперсии дискретной случайной величины.
1. Дисперсия дискретной случайной величины X равна разности между математическим ожиданием квадрата величины X и квадратом ее математического ожидания:
D(X) = M(X 2 ) M 2(X).
С помощью этого свойства и свойства математического ожидания устанавливаются следующие свойства.
2. Дисперсия постоянной величины С равна нулю.
3. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат: D(CX) = C 2D(X).
4. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:
Следствием свойств 3 и 4 является свойство 5.
5. Дисперсия разности двух независимых случайных величин X и Y равна сумме их дисперсий: D(XY) = D(X)+D(Y).
Пример 1. Дисперсия случайной величины X равна 3. Найти дисперсию следующих величин: а) 3Х; б) 4Х + 3.
Решение. Согласно свойствам 2, 3 и 4 дисперсии имеем
а) ;
б) D(4X + 3) = D(4X) + D(3) = 16D(X) + 0 = = 48.
3. Среднее квадратическое отклонение.
Определение. Средним квадратическим отклонением (X) случайной величины X называется корень квадратный из ее дисперсии:
Введение среднего квадратического отклонения объясняется тем, что дисперсия измеряется в квадратных единицах относительно размерности самой случайной величины. Например, если возможные значения некоторой случайной величины измеряются в метрах, то ее дисперсия измеряется в квадратных метрах. В тех случаях, когда нужно иметь числовую характеристику рассеяния возможных значений в той же размерности, что и сама случайная величина, и используется среднее квадратическое отклонение.
Пример 2. Случайная величина X число очков, выпавших при однократном бросании игральной кости. Определить .
Решение. Имеем
Здесь для облегчения вычислений можно использовать калькулятор. То же следует иметь в виду и в ряде других примеров этой главы.
4. Понятие о моментах распределения.
Определение 3. Начальным моментом порядка k случайной величины X называют математическое ожидание случайной величины Xk, где k натуральное число: k=M(Xk).
Следовательно, если X имеет распределение
|
x1 |
x2 |
… |
xn |
p |
p1 |
p2 |
… |
pn |
То
Математическое ожидание и дисперсию случайной величины X можно выразить через начальные моменты порядков 1 и 2:
(1)
Определение 4. Центральным моментом порядка k случайной величины X называется математическое ожидание величины [X M(X)]k:
Из определения 4, сформулированной выше теоремы (п. 1) и определения дисперсии следует, что
(2)
Сравнивая соотношения (1) и (2), получаем
Пример 3. Дискретная случайная величина X задана законом распределения:
-
X
1
3
p
0,4
0,6
Найти начальные моменты первого, второго порядков и центральный момент второго порядка. Имеем
4.4. Непрерывные случайные величины
1. Интегральная функция распределения. Для непрерывной случайной величины в отличие от дискретной нельзя построить таблицу распределения. Поэтому непрерывные случайные величины изучают другим способом, который мы сейчас рассмотрим. Пусть X непрерывная случайная величина с возможными значениями из некоторого интервала (а; b) и х действительное число. Под выражением X < х понимается событие «случайная величина X приняла значение, меньшее х». Вероятность этого события Р(Х < х) есть некоторая функция переменной х:
Определение. Интегральной функцией распределения (или кратко функцией распределения) непрерывной случайной величины X называется функция F(x), равная вероятности того, что X приняла значение, меньшее х:
(1)
Отметим, что функция распределения совершенно также определяется для дискретных случайных величин.
Укажем свойства, которыми обладает функция F(x).
1.
2. F(x) неубывающая функция, т.е. если х1 < х2 , то F(x1) F(x2).
3. Вероятность попадания случайной величины X в полуинтервал [а;b) равна разности между значениями функции распределения в правом и левом концах интервала (а; b):
(2)
Пример 1. Случайная величина X задана функцией распределения:
Найти вероятности того, что в результате испытания X примет значение, принадлежащее полуинтервалу [0;2).
Решение. Так как на полуинтервале [0;2) то
В дальнейшем случайную величину X будем называть непрерывной, если непрерывна ее функция распределения F(x).
4. Вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет какое-либо заранее заданное значение, равна нулю:
(3)
5. Вероятности попадания непрерывной случайной величины в интервал, сегмент и полуинтервал с одними и теми же концами одинаковы
(4)
6. Если возможные значения случайной величины X принадлежат интервалу (а; b), то 1) F(x) = 0 при х а; 2) F(x) = 1 при х b.
Следствие. Если возможные значения непрерывной случайной величины расположены на всей числовой оси, то справедливы следующие предельные соотношения:
2. Дифференциальная функция распределения. Дифференциальной функцией распределения непрерывной случайной величины X (или ее плотностью вероятности) называется функция f(х), равная производной интегральной функции:
Так как F(x) неубывающая функция, то f(х) 0.
Теорема. Вероятность попадания непрерывной случайной величины X в интервал (а; b) равна определенному интегралу от дифференциальной функции распределения величины X, взятому в пределах от а до b:
(5)
Из (5) следует, что геометрически вероятность Р(а<X<b) представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком плотности вероятности у = f(х) и отрезками прямых у = 0, х = а и х = b.
Следствие. В частности, ecлu f(x) четная функция и концы интервала симметричны относительно начала координат, то
Пример 2. Продолжительность жизни растений данного вида в определенной среде представляет собой непрерывную случайную величину X. Пусть функцией плотности вероятности для X является . Какая доля растений данного вида умирает за период 100 дней?
Решение. Имея в виду свойство 5 (см. п. 1), согласно формуле (5)
В силу найденного выше следствия (см. п. 1),
(6)
Формула (6) дает возможность отыскать интегральную функцию распределения F(x) по ее плотности вероятности.
Отметим, что из формулы (6) и из только что отмеченного следствия вытекает, что
(7)
Пример 3. Задана плотность вероятности случайной величины X Требуется найти коэффициент А, функцию распределения F(x) и вероятность попадания случайной величины Х в интервал (0; 1).
Решение. Коэффициент А найдем, воспользовавшись соотношением (7). Так как
то , откуда .
Применяя формулу (6), получаем функцию распределения F(x):
Наконец, формулы (2) и (4) с учетом найденной функции F(x) дают