5.4. Проверка статистических гипотез

Пусть по выборке объема п получено эмпирическое распределение:

Варианты	x1	x2	…	xm
Эмпирические (наблюдаемые) частоты	n1	n2	…	nm

По данным наблюдения выдвигают гипотезу о законе распределения генеральной совокупности, например предполагают, что генеральная совокупность распределена равномерно или нормально. Такие гипотезы называют статистическими. Затем для тех же объектов, которые попали в выборку, вычисляют частоты, уже исходя из теоретической гипотезы. В результате получают частоты (их называют выравнивающими частотами), которые, вообще говоря, отличаются от наблюдавшихся. Как определить, правильно или нет выдвинута гипотеза, т. е. случайны ли расхождения наблюдавшихся и выравнивающих частот или эти расхождения являются следствием неправильности гипотезы? Для решения этого вопроса применяют критерии согласия эмпирических наблюдений выдвинутой гипотезе. Имеется несколько критериев согласия: ² («хи квадрат») К. Пирсона, Колмогорова, Смирнова и др. Мы познакомимся с критерием согласия ² Пирсона.

Предположим, что на основе приведенного выше распределения выдвинута гипотеза H: генеральная совокупность имеет нормальное распределение. Для вычисления выравнивающих частот поступают следующим образом:

1) находят значения

2) выравнивающие частоты ищут по формуле где п  сумма наблюдавшихся частот, h  разность между двумя соседними вариантами, и . В результате получено множество выравнивающих частот:

Обозначим через ² сумму квадратов разностей между эмпирическими и выравнивающими частотами, деленных на соответствующие выравнивающие частоты:

⁷ (1)

Для данной выборки по формуле (1) находим значение случайной величины ². Обозначим его через . Затем определяем число k = т  3, называемое числом степеней свободы, где т  число различных вариант выборки.

Теперь проверка гипотезы Н проводится так. Задаются уровнем значимости р, т.е. столь малой вероятностью р, при которой о событии , имеющем вероятность р, можно с большой уверенностью сказать, что в единичном испытании оно не произойдет. В таблице значений ² по заданному уровню значимости р и числу степеней свободы k (приложение 5) находят значение ²(р; k). Если окажется, что , то гипотеза Н отвергается на уровне значимости р, так как произошло событие, которое не должно было произойти при верной гипотезе Н; если же , то Н принимается на уровне значимости р. Обычно в качестве р берут либо 0,05, либо 0,01, либо 0,001.

Пример 1. При уровне значимости 0,05 проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности, если известны эмпирические и теоретические частоты:

эмпирические частоты... 6 13 38 74 106 85 30 14

теоретические частоты... 3 14 42 82 99 76 37 13

Решение. Вычислим по формуле (1) (см. расчетную таблицу).

i	ni
1	6	3	3	9	3
2	13	14	1	1	0,07
3	38	42	4	16	0,38
4	74	82	8	64	0,78
5	106	99	7	49	0,49
6	85	76	9	81	1,07
7	30	37	7	49	1,32
8	14	13	1	1	0,08

Найдем число степеней свободы, учитывая, что число различных вариант т = 8. Имеем k = 8  3 = 5. По уровню значимости р = 0,05 и числу степеней свободы k = 5 по таблице значений ² (приложение 5) находим ²(0,05; 5) = 11,1. Так как , нет оснований отвергнуть гипотезу H.