3. Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины.

Определение 1. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины X с плотностью вероятности f(х) называют величину несобственного интеграла (если он сходится):

Определение 2. Дисперсией непрерывной случайной величины X, математическое ожидание которой М(Х) = а и функция f(х) является ее плотностью вероятности, называется величина несобственного интеграла (если он сходится):

Можно показать, что математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины имеют те же свойства, что и математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины.

Для непрерывной случайной величины X среднее квадратическое отклонение (Х) определяется, как и для дискретной величины, формулой .

Пример 4. Случайная величина X задана плотностью вероятности

Определить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение величины X.

Решение. Согласно определениям 1 и 2

и, наконец,

4.5. Некоторые законы распределения случайных величин

1. Биномиальное распределение. Пусть производится п испытаний, причем вероятность появления события А в каждом испытании равна р и не зависит от исхода других испытаний (независимые испытания). Так как вероятность наступления события А в одном испытании равна р, то вероятность его ненаступления равна q = 1  р.

Найдем вероятность того, что при n испытаниях событие А наступит т раз (т п).

Пусть событие А наступило в первых т испытаниях т раз и не наступило во всех последующих испытаниях. Это сложное событие можно записать в виде произведения:

Общее число сложных событий, в которых событие А наступает т раз, равно числу сочетаний из п элементов по т элементов. При этом вероятность каждого сложного события равна: p^mq^n-m. Так как эти сложные события являются несовместимыми, то вероятность их суммы равна сумме их вероятностей. Итак, если Р_п(т) есть вероятность появления события А т раз в п испытаниях, то или

(1)

Формулу (1) называют формулой Бернулли.

Пример 1. Пусть всхожесть семян данного растения составляет 90%. Найти вероятность того, что из четырех посеянных семян взойдут: а) три; б) не менее трех.

Решение. а) В данном случае n = 4, т = 3, р = 0,9, q = 1  p = 0,1. Применим формулу Бернулли (1):

б) Здесь событие А состоит в том, что из четырех семян взойдут или три, или четыре. По теореме сложения вероятностей . Но Р₄(4) = (0,9)⁴ = 0,6561. Поэтому Р(А) = 0,2916 + 0,6561 = 0,9477.

Снова рассмотрим n независимых испытаний, в каждом из которых наступает событие А с вероятностью р. Обозначим через X случайную величину, равную числу появлений события А в п испытаниях.

Понятно, что событие А может вообще не наступить, наступить один раз, два раза и т.д. и, наконец, наступить п раз. Следовательно, возможными значениями величины X будут числа 0, 1, 2, ..., n  1, п. По формуле Бернулли можно найти вероятности этих значений:

Запишем полученные данные в виде таблицы распределения:

	0	1	…	m	…	n
p	qn		…		…	pn

Построенный закон распределения дискретной случайной величины X называют законом биномиального распределения.

Найдем М(Х). Очевидно, что X_i  число появлений события А в каждом испытании  представляет собой случайную величину со следующим распределением:

Xi	0	1
pi	q	p

Поэтому М(Х_i) = . Но так как X = Х₁ + ... +Х_n, то М(Х) = пр. Найдем далее D(X) и (Х). Так как величина имеет распределение

Xi2	02	12
pi	q	p

то M(X_i²)= . Поэтому

Наконец, в силу независимости величин X₁, X₂, ..., Х_n,

Отсюда

Пример 2. Случайная величина X определена как число выпавших гербов в результате 100 бросаний монеты. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение X.

Решение. Вероятность появления герба в каждом бросании монеты . Следовательно, вероятность непоявления герба . Случайная величина X имеет биномиальное распределение при п = 100 и . Поэтому

Пример 3. Допустим, что для хищника вероятность поимки отдельной жертвы составляет 0,4 при каждом столкновении с жертвой. Каково ожидаемое число пойманных жертв в 20 столкновениях?

Решение. Это пример биномиального распределения при п = 20 и р = 0,4. Ожидаемое число есть М(Х) = пр = = =8.

2. Локальная и интегральная предельные теоремы Лапласа. Если число испытаний п велико, то вычисления по формуле Бернулли становятся затруднительными. Лаплас получил важную приближенную формулу для вероятности Р_n(т) появления события А точно m раз, если п достаточно большое число. Им же получена приближенная формула и для суммы вида .

Локальная предельная теорема Лапласа. Пусть р=Р(А)  вероятность события А, причем 0 < р < 1. Тогда вероятность того, что в условиях схемы Бернулли событие А при п испытаниях появится точно т раз, выражается приближенной формулой Лапласа

(2)

где

Для функции имеется таблица (см. приложение 1) ее значений для положительных значений х (функция четная).

Пример 4. Вероятность поражения цели стрелком при одиночном выстреле равна р = 0,2. Какова вероятность того, что при 100 выстрелах цель будет поражена ровно 20 раз?

Решение. Здесь р = 0,2, q = 0,8, n = 100 и т = 20. Отсюда и, следовательно,

.

Учитывая, что , из формулы (2) получаем (для получения приближен-ного равенства можно использовать калькулятор).

Перейдем к интегральной предельной теореме Лапласа. Поставим следующий вопрос, какова вероятность того, что в условиях схемы Бернулли событие А, имеющее вероятность Р(А) = р (0 < р < 1), при п испытаниях (как и прежде, число испытаний велико) появится не менее k раз и не более l раз. Эту искомую вероятность обозначим через P_n(k, l).