4.2. Математическое ожидание дискретной случайной величины

1. Понятие математического ожидания. Закон распределения полностью задает дискретную случайную величину. Однако часто встречаются случаи, когда закон распределения случайной величины неизвестен. В таких случаях случайную величину изучают по ее числовым характеристикам. Одной из таких характеристик является математическое ожидание.

Пусть некоторая дискретная случайная величина X с конечным числом своих значений задана законом распределения:

X	x1	x2	x3	…	xn
p	p1	p2	p3	…	pn

Определение. Математическим ожиданием М(Х) дискретной случайной величины X называют сумму произведений всех возможных значений величины X на соответствующие вероятности:

(1)

Пример 2. Найти математическое ожидание выигрыша X в примере из 4.1 (п. 2).

Решение. Используя полученную там таблицу, имеем

Очевидно, М(Х) = 21 р. есть справедливая цена одного лотерейного билета.

Теорема. Математическое ожидание дискретной случайной величины X приближенно равно среднему арифметическому всех ее значений (при достаточно большом числе испытаний).

Из статистического определения вероятности следует, что при достаточно большом числе испытаний . Поэтому

Или

Примечание. В связи с только что приведенной теоремой математическое ожидание случайной величины называют также ее средним значением, или ожидаемым значением.

2. Свойства математического ожидания дискретной случайной величины.

1. Математическое ожидание постоянной величины С равно этой величине.

Постоянную С можно рассматривать как дискретную случайную величину, принимающую лишь одно значение С с вероятностью р = 1. Поэтому М(С) = = С.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания, т. е. М(СХ) = С М(Х).

3. Математическое ожидание суммы двух случайных величин X и Y равно сумме их математических ожиданий:

Определение. Случайные величины X и Y называют независимыми, если закон распределения каждой из них не зависит от того, какое возможное значение приняла другая величина.

Примером двух независимых случайных величин могут служить суммы выигрышей по каждому из двух билетов по двум различным денежно-вещевым лотереям. Здесь ставший известным размер выигрыша по билету одной лотереи не влияет на ожидаемый размер выигрыша и соответствующую ему вероятность по билету другой лотереи.

Несколько случайных величин называют независимыми, если закон распределения любой из них не зависит от того, какие возможные значения приняли остальные случайные величины.

4. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

Следствием свойств 2 и 3 является свойство 5.

5. Математическое ожидание разности двух случайных величин Х и Y равно разности их математических ожиданий:

М(Х  Y) = M(X)  M(Y).

Примечание 1. Свойства 3 и 4 имеют место и для любого конечного числа случайных величин.

Примечание 2. Если множество возможных значений дискретной случайной величины X бесконечно, то математическое ожидание М(Х) определяется суммой числового ряда при условии, что этот ряд абсолютно сходится (в противном случае говорят, что математическое ожидание не существует). Перечисленные свойства математического ожидания остаются в силе и для таких случайных величин.

Пример 3. Найти математическое ожидание случайной величины Z = X + 2Y, если известны математические ожида-ния случайных величин X и Y : М(Х) = 5, M(Y) = 3.

Решение. Используя свойства 3 и 2 математического ожидания, получаем

Пример 4. Независимые случайные величины заданы законами распределения

	1	2
P	0,2	0,8

	0,5	1
p	0,3	0,7

Найти математическое ожидание случайной величины XY.

Решение. Найдем математические ожидания каждой из данных величин:

М(Х) = + = 1,8,

M(Y) = + = 0,15 + 0,7 = 0,85.

Случайные величины X и Y независимы, поэтому искомое математическое ожидание

M(XY) = М = 1,53.