4. Дискретные и непрерывные случайные величины

4.1. Случайные величины

1. Понятие «случайные величины».

Определение 1. Случайной величиной называют переменную величину, которая в зависимости от исхода испытания случайно принимает одно значение из множества возможных значений.

Примеры.

1) Число очков, выпавших при однократном бросании игральной кости, есть случайная величина, она может принять одно из значений: 1, 2, 3, 4, 5, 6;

2) прирост веса домашнего животного за месяц есть случайная величина, которая может принять значение из некоторого числового промежутка;

3) число родившихся мальчиков среди пяти новорожденных есть случайная величина, которая может принять значения 0, 1, 2, 3, 4, 5.

Случайные величины будем обозначать прописными буквами X, Y, Z, а их возможные значения  соответствующими строчными буквами х, у, z. Например, если случайная величина X имеет три возможных значения, то они будут обозначены так:

Определение 2. Случайная величина, принимающая различные значения, которые можно записать в виде конечной или бесконечной последовательности, называют дискретной случайной величиной.

Ниже рассматриваются дискретные случайные величины, множество допустимых значений которых конечно.

Случайные величины из примеров 1) и 3) дискретные.

Определение 3. Случайная величина, которая может принимать все значения из некоторого числового промежутка, называется непрерывной случайной величиной.

Случайная величина из примера 2) является непрерывной.

2. Законы распределения дискретных случайных величин. Рассмотрим дискретную случайную величину X с конечным множеством возможных значений. Величина X считается заданной, если перечислены все ее возможные значения, а также вероятности, с которыми величина X может принять эти значения. Указанный перечень возможных значений и их вероятностей называют законом распределения дискретной случайной величины. Закон распределения дискретной случайной величины может быть задан с помощью таблицы:

X	x1	x2	x3	…	xn-1	xn
p	p1	p2	p3	…	pn-1	pn

В верхней строке выписывают все возможные значения величины X, в нижней строке выписывают вероятности значений . Читается таблица следующим образом: случайная величина X может принять значение x_i с вероятностью р_i (i = 1, 2, ... , n).

Так как в результате испытания величина X всегда примет одно из значений , то

Пример 1. В денежной лотерее разыгрывается 1 выигрыш в 100000 р., 10 выигрышей по 10000 р. и 100 выигрышей по 100 р. при общем числе билетов 10000. Найти закон распределения случайного выигрыша X для владельца одного лотерейного билета.

Решение. Здесь возможные значения для X есть: х₁ = 0, х₂ = 100, х₃ = 10000, х₄ = 100000. Вероятности их будут: р₂ = 0,01, р₃ = 0,001, р₄ = 0,0001, р₁ = 1  0,01  0,001  0,0001 = 0,9889. Следовательно, закон распределения выигрыша X может быть задан таблицей:

Х	0	100	10000	100000
р	0,9889	0,01	0,001	0,0001