3.1.3.Свойство планов скоростей

1. План скоростей – это плоский пучок лучей, исходящих из полюса. Каждый луч представляет собой вектор скорости какой-то точки механизма.

2. Отрезки, соединяющие концы векторов, являются относительными скоростями.

3. Свойство подобия. Фигуры, образованные на полюсе векторами скоростей, подобны фигурам, образованным звеньями механизма на 90.

4. Возможность определения угловой скорости звеньев по величине и направлению:

План ускорений (Рис. 3.4,б).

1)

2)

Ускорение точки звена, совершающего сложное движение, складывается из переносного ускорения и относительного нормального и касательного. В данном случае переносное ускорение по характеру поступательное, а относительное вращательное.

Второе уравнение:

Построим план ускорений по приведенным векторным уравнениям, найдем ускорение т. К по аналогичным уравнениям.

Свойства плана ускорений.

1 – 3) эти свойства аналогичны свойствам плана скоростей

4). Возможно определить

3.1.4. Построение плана скоростей и ускорений кулисного механизма

Дано:

₁ = const размеры звеньев.

Определить скорости и ускорения всех точек механизма.

n=3; P₅=7; W=1. класс II, V_B1=Р_1*_AB

Точка В совершает вращательное движение вокруг точки А; точка В₃ совершает вращательное движение вокруг точки С; точка В₂ совершает сложное движение – переносное вращательное вместе с точкой В₃ и относительное поступательное вдоль звена СД.

Строим план скоростей (Рис. 3.7).

Рис. 3.22

Рис. 3.23. Структура кулисного механизма

Рис. 3.24

Скорость точки Д находим, исходя из свойства подобия:

Переходим к плану ускорений (Рис. 3.8).

Рис. 3.25

4.Механизмы с высшими парами. Зубчатые механизмы

4.1.Зубчатые передачи

4.1.1.Общие сведения. Основная теорема зацепления.

Для того, чтобы исключить проскальзывание и увеличить передаваемую мощность, используют зубчатые передачи. Они очень широко применяются в технике; их изучает наука, называемая теорией зубчатых зацеплений.

Для того, чтобы передаточное отношение было постоянным, необходимо, чтобы профили зубьев удовлетворяли некоторым условиям.

Пусть два звена, вращающихся вокруг осей О₁ и О₂, образуют в точке К высшую кинематическую пару (Рис. 4.1). Очевидно, что относительная скорость должна лежать на касательной - к сопряженным профилям, т.к. в противном случае нормальная составляющая относительной скорости привела бы либо к отрыву звеньев друг от друга, либо к внедрению одного звена в другое. Из этого следует, что мгновенный центр скоростей в относительном движении лежит на нормали n-n, проведенной в точке контакта к сопряженным профилям. В то же время мгновенный центр скоростей должен лежать на прямой О₁О₂, соединяющей оси вращения звеньев 1 и 2. Следовательно, мгновенным центром скоростей в относительном движении является точка Р, лежащая на пересечении нормали n-n и линии О₁О₂. В теории зубчатых зацеплений эту точку называют полюсом зацепления.

Рис. 4.26

Из определения мгновенного центра скоростей следует, что относительная скорость в точке Р равна нулю, т.е. V_P1 = V_P2. Следовательно:

(4.1)

Отсюда передаточное отношение i₁₂:

(4.2)

Иными словами, нормаль, проведенная в точке контакта к сопряженным профилям, делит межосевое расстояние в отношении, обратно пропорциональном отношению угловых скоростей. Это – основная теорема зацепления. Для того, чтобы передаточное отношение i₁₂ было постоянным, необходимо, чтобы полюс зацепления занимал постоянное положение. В этом случае центроидами в относительном движении будут являться окружности, которые в теории зубчатых зацеплений называются начальными окружностями. Все размеры, относящиеся к начальным окружностям, помечают индексом w, например: r_w1, r_w2 – радиусы начальных окружностей (Рис. 4.2, а). Радиусу начальной окружности r_w пропорциональна длина начальной окружности и, следовательно, число зубьев z, которое может на ней разместиться. Поэтому для передаточного отношения справедливо выражение:

(4.3)

Знак «минус», стоящий перед отношением чисел зубьев ведомого и ведущего колеса, показывает, что в передаче внешнего зацепления ведущее и ведомое колеса вращаются в противоположные стороны, а передаточное отношение – отрицательное.

Расстояние между осями вращения зубчатых колес называют межосевым расстоянием и обозначают а_w. В случае внешнего зацепления

а_w = r_w1 + r_w2. (4.4)

Рис. 4.27

Учитывая, что r_w1 = O₁P, r_w2 = O₂P, из (4.2) и (4.4) получим:

(4.5)

Для того, чтобы уменьшить габариты передачи, используют колеса внутреннего зацепления: одно колесо вставляется внутрь другого (Рис. 4.2, б). В этом случае направление вращения ведущего и ведомого колес совпадает, поэтому передаточное отношение – положительное:

. (4.6)

Межосевое расстояние равно разности радиусов начальных окружностей:

а_w = r_{w2 –} r_w1. (4.7)

Тогда радиусы начальных окружностей равны:

(4.8)

Если r_w2  , то начальная окружность превращается в начальную прямую, а зубчатое колесо – в зубчатую рейку. В этом случае получают зубчато-реечную передачу (Рис. 4.2, в). Поскольку в полюсе зацепления относительная скорость равна 0, то V_P1 = V_P2, и

(4.9)

Зубчатые колеса используют также и для передачи вращения между валами с пересекающимися осями (I и II на рис. 4.3) – это конические колеса. Чаще всего угол между осями  = 90⁰ (такие передачи называют ортогональными), но возможны и другие углы. В передачах с коническими колесами существует мгновенная ось (OP) – геометрическое место точек тел, имеющих в данный момент нулевую относительную скорость. Если мгновенную ось ОР, наклоненную к оси вращения I под углом ₁, вращать вокруг оси 1, получится коническая поверхность – подвижная аксоида (поверхность, образованная мгновенной осью в локальной системе координат, связанной со звеном 1 или 2, называют подвижной аксоидой). Аналогично при вращении мгновенной оси ОР вокруг оси II получим коническую поверхность с половиной угла при вершине, равной ₂ (вторая подвижная аксоида). Подвижные аксоиды в теории зубчатых зацеплений называются начальными конусами. Зубья колес располагают вблизи начальных конусов, а поверхности вершин и впадин имеют ту же форму, что и начальные конусы.

Рис. 4.28

В качестве главного профиля зубьев цилиндрических зубчатых колес, применяемых в машиностроении, наибольшее распространение получил эвольвентный профиль. Плоская эвольвента окружности представляет собой траекторию любой точки прямой линии, перекатываемой без скольжения по эволюте, т.е. по основной окружности радиуса r_b (Рис. 4.4).

Рис. 4.29

Прямая линия, перекатываемая по основной окружности, называется производящей прямой. Рассмотрим свойства эвольвенты окружности.

1. Нормаль к эвольвентам (прямая КС) касается основной окружности, причем точка касания (С) является центром кривизны эвольвент.

2. Все эвольвенты одной основной окружности эквидистантны, и расстояние KD между ними равно длине дуги К₀D₀.

3. Каждая ветвь эвольвенты вполне определяется радиусам основной окружности и положением начала отсчета эвольвентного угла.

При эвольвентном зацеплении изменение межосевого расстояния не влияет на значение передаточного отношения вследствие неизменности радиусов основных окружностей.