5. Рассеивание рентгеновских лучей кристаллической решеткой (монокристаллом)

Наибольший интерес для металловедения представляет рассмотрение взаимодействия рентгеновских лучей с твердым кристаллическим телом. Атомы в кристаллических телах расположены в определенном порядке, образуя трехмерную кристаллическую решетку. Но прежде чем начать описывать рассеивание рентгеновских лучей в кристаллах, рассмотрим сначала рассеивание их линейной и двухмерной атомными решетками, при этом сделаем ряд упрощающих допущений:

1. кристаллы имеют идеальное строение и тепловые колебания в них отсутствуют,

2. падающие лучи строго параллельны и не поглощаются кристаллами,

3. взаимодействия рассеянных волн с первичным лучем не происходит, а взаимодействием вторичных волн с атомами, лежащими на их пути, пренебрегаем.

Рассеивание рентгеновских лучей линейной простой атомной решеткой изображено на рис. 11. Положим, что рассеивающие центры (атомы) лежат на одной прямой и на одинаковом друг от друга расстоянии а. Падающий пучок монохроматических рентгеновских лучей подходит к линейной атомной решетке под некоторым углом α₀. Каждый атом решетки под его воздействием начинает излучать некоторую долю энергии первичного пучка. Так как в расположении атомов наблюдается периодичность, то следует ожидать, что в некоторых направлениях рассеянное излучение от всех атомов сложится, после чего интенсивность будет в N раз больше, где N — число атомов в ряду решетки; в этих направлениях происходит интерференция рассеянного излучения от отдельных атомов.

Рис. 11. Рассеяние рентгеновских лучей линейной атомной решеткой

Интерференционный максимум образуется по тому направлению, где разность хода рассеянных лучей от отдельных атомов равна целому числу длин волн:

А₂С₂ - А₂b₂ = а( cos α - cos α₀) = nλ (9)

Здесь левая часть уравнения представляет собой разность хода лучей, а правая — произведение n на λ, где n — целое число.

Это условие справедливо для всех образующих конуса, осью которого является атомный ряд, а половина угла при вершине равна α. Следовательно, каждому углу падения лучей соответствует ряд коаксиальных конусов, окружающих атомный ряд, причем каждый конус соответствует тому или иному порядку отклоненных лучей, при этом n — положительно или отрицательно. Такие конусы изображены на рис. 12.

Рис. 12. Конусы отклоненных лучей вокруг атомного ряда. Порядок дифракции обозначен цифрами

Если бы линейную атомную решетку можно было получить практически, то при воздействии на нее рентгеновских лучей мы получили бы несколько интерференционных конусов. Тогда получилась бы следующая дифракционная картина: на фотографической пластинке, расположенной параллельно атомному ряду, зафиксировались бы следы пересечения конусов с плоскостью, т. е. гиперболы (рис. 13, а), а на пластинке, расположенной перпендикулярно атомному ряду,— круги (рис. 13, б). Если пластинку заменить пленкой, обернутой по цилиндрической поверхности вокруг цепочки атомов (рис. 13, б), то дифракционная картина будет зафиксирована в виде окружностей. На развернутой пленке окружности будут выглядеть как отдельные прямые линии.

Рис. 13. Дифракционная картина, полученная на пленке в результате взаимодействия рентгеновских лучей с атомным рядом: а – пленка параллельна атомному ряду; б – пленка перпендикулярна атомному ряду и расположена по оси цилиндра, совпадающей с атомным рядом

Из формулы (9) видно, что если на данный атомный ряд падает не монохроматический пучок рентгеновских лучей, а пучок, состоящий из волн, различных по длине, то чем больше длина волны, тем сильнее они будут отклоняться, от первоначального направления, т. е. угол α увеличивается. Таким образом, атомный ряд, подобно призме для видимого света, является спектральным аппаратом для рентгеновских луней.

Переход к интерференции от двухмерной решетки может быть совершён, если расположить в одной плоскости несколько рядов линейных решеток на расстоянии b одна от другой. Один из рядов точек, расположенных друг от друга.на расстоянии b, представляет собой также линейную решетку, и, согласно изложенному выше, интерференция для этого ряда будет осуществляться при условии

b (cos β — cos β₀) — kλ,

где β₀ и β — углы, образуемые падающим и отклоненным лучами и атомным рядом у, т. е. вокруг этого атомного ряда образуется своя система конусов (на рис. 14 показан только один конус 2).

Рис. 14. Интерференционные конусы при рассеянии двумерной атомной решетки

Чтобы рассеянные лучи от атомов, расположенных на плоскости, усиливали друг друга, необходимо одновременное соблюдение двух условий:

a (cos α — cos α₀) = nλ

b (cos β — cos β₀) = kλ.

Интерференционные максимумы будут расположены в направлении пересечения Двух систем конусов (на рис. 14 показаны следы пересечения двух конусов 1 и 2). На пленке, расположенной параллельно атомной плоскости, каждый конус дает свою гиперболу. Пересечение гипербол и будет соответствовать максимумам интенсивности, которые на рис. 15 отмечены точками. Однако изложенную теорию для линейной и плоскостной атомных решеток проверить экспериментально нельзя, так как в природе таких решеток нет, а искусственно их приготовить невозможно.

Рис. 15. Дифракционные пятна на фотопленке как результат дифракции от атомной плоскости

Наконец, в трехмерной решетке точки расположены закономерно по трем направлениям: х, у, z, на расстояниях друг от друга a, b и с. В этом случае рассеянное излучение усиливается и образуются при одновременном соблюдении трех условий:

a (cos α — cos α₀) = nλ

b (cos β — cos β₀) = kλ. (10)

c (cos γ — cos γ₀) = lλ.

интерференционные максимумы. Уравнения (10) называются уравнениями Лауэ. В этом случае получается три системы конусов, расположенных коаксиально по отношению к осям x, у, z (рис. 16), поэтому на фотографической пластинке, расположенной перпендикулярно оси z, кроме двух систем гипербол (рис. 15), должны еще получаться и окружности (рис. 17). Одновременно пересечение двух гипербол и одной окружности и будет соответствовать интерференционным максимумам от трехмерной решетки. Это будут те направления, в которых пересекаются одновременно три конуса.

Рис. 16. Интерференционные конусы при рассеивании трехмерной атомной решеткой

Рис. 17. Дифракционные пятна на фотопленке при взаимодействии рентгеновских лучей с трехмерной атомной решеткой

При падении монохроматических рентгеновских лучей на кристалл не всегда наблюдаются максимумы интерференции. В самом деле, в данном случае в уравнениях Лауэ углы α₀, β₀, γ₀ и длина волны λ — величины постоянные, а углы α, β, γ — переменные, но они между собой связаны определенной зависимостью. Для кристаллов, оси которых взаимно перпендикулярны, справедливо следующее соотношение:

cos² α + cos² β + cos² γ = 1.

Таким образом, налицо четыре уравнения при трех неизвестных; совместное решение их не всегда возможно. Чтобы оно стало возможным (это значит, чтобы всегда было возможно появление интерференционных максимумов), необходимо еще одну из величин, входящих в уравнения Лауэ, сделать переменной. Этой величиной может быть длина волны или один из углов α₀, β₀, γ₀. Иначе, для получения интерференции нужно на кристалл направлять не монохроматические лучи, а полихроматические (белые) или все время изменять один из углов ( α₀, β₀, γ₀), что можно осуществить колебанием или вращением кристалла. Так, например, если изменять длину волн падающих лучей, растворы конусов (рис. 16) также будут изменяться и при некоторой длине волны одновременно пересекутся все три конуса. Изменения растворов конусов можно добиться, изменяя углы α₀, β₀, γ₀.

Характер расположения пятен на рентгенограмме является прямым следствием расположения атомов в кристалле. Необходимо отметить следующее очень важное положение, что во всех других направлениях, не удовлетворяющих уравнениям Лауэ, при достаточно большом числе атомов в ряде лучи не будут распространяться и полностью погасятся.

Действительно, даже при самом малом несовпадении по фазе φ рассеянное излучение от отдельных атомов, которое выражено величиной вектора а, нужно складывать геометрически с учетом сдвига фаз (рис. 18).

Рис. 18. Векторная диаграмма: а – величина вектора, характеризующего величину рассеянного излучения одним атомом; φ – угол сдвига фаз

Совершенно ясно, что если при очень большом числе атомов (порядка нескольких сотен) геометрическая сумма векторов и не будет точно равна нулю, то все же она будет величиной того же порядка, что и каждый вектор в отдельности, в то время как амплитуда колебаний для луча, удовлетворяющего уравнениям Лауэ, будет в сотни раз больше. Следовательно, можно считать, что рассеянные отдельными атомами лучи усиливаются лишь в тех направлениях, которые соответствуют уравнениям Лауэ; в других направлениях они почти полностью гасятся.

Если атомный ряд короток (содержит мало атомов), то лучи могут усиливаться и под углами, несколько отличающимися от того, который входит в уравнение Лауэ (10), так как амплитуды результирующих колебаний не будут при этом исчезающе малыми, что приведет к размытию интерференционных максимумов. Это очень важное положение позволит в дальнейшем подойти к определению величины кристаллов или блоков по уширению интерференционных максимумов. На рис. 19, а и б показано влияние числа рассеивающих центров на ширину интерференционных максимумов.

а)

б)

Рис. 19. Влияние количества рассеивающих центров на ширину интерференционных максимумов: а – число центров равное 2, 3 и 5; б – число центров, равное 15

Таким образом, ширина дифракционного максимума определяется числом рассеивающих центров. Если размер кристаллов меньше 10^-5 см, то уже наблюдается размытие дифракционных максимумов.

Теорию интерференции рентгеновских лучей впервые обосновал Лауэ. Она позволила ему (теоретически) вычислить места расположения интерференционных пятен на рентгенограммах.

Однако при более глубоком изучении теории Лауэ становилось ясным, что должна существовать более простая связь между расположением пятен, получаемых на рентгенограммах, и строением пространственной решетки кристалла. Эту в высшей степени простую теорию создал русский кристаллограф Г. В. Вульф.

Если из всех конусов, которые образуются вокруг атомного ряда, взять конус, отвечающий уравнению а(cosα – cosα₀) = 0•λ, т. е. n=0, то это приводит к равенству α = α₀. Этот конус называется нулевым. Для него характерно то, что одна из его образующих является первичным лучом. Нулевой конус по интенсивности наиболее яркий, интенсивность других конусов быстро падает с возрастанием числа п. Поэтому прежде всего в разбираемом явлении должно наблюдаться действие нулевых, конусов, особенно в рядах, наиболее густо усеянных атомами.

Возьмем атомную плоскость (рис. 20) с атомными рядами х и у. При этом каждый ряд даст свой нулевой конус с вершиной в точке О. Каждый из нулевых конусов должен пройти через первичный луч 1, а так как оси этих конусов лежат в одной плоскости, делящей их симметрично пополам, то по другую сторону плоскости эти конусы тоже должны пересекаться по одной общей образующей 2, которая будет, как в зеркале, изображением первичного луча. По этой общей образующей яркости этих двух конусов сложатся.

Рис. 20. Схема иллюстрирующая отражение рентгеновских луче от атомной плоскости

Таким образом, атомная плоскость кристалла является как бы полупрозрачным зеркалом, на котором отражается часть рентгеновских лучей. Следовательно, кристалл можно рассматривать не как систему атомов, а как систему атомных плоскостей.

Пространственная решетка кристалла слагается из ряда равноотстоящих параллельных атомных плоскостей. Чтобы определить взаимодействие такой системы параллельных плоскостей с первичным лучом, рассмотрим две смежные плоскости: Р и Р₁ (рис. 21), отстоящие друг от друга на расстоянии d. Пусть в точки О и О', находящиеся на одном перпендикуляре к плоскостям, падают параллельные лучи АО и ВО' под углом φ к перпендикуляру или под углом θ к плоскости (равным 90° - φ); эти лучи отразятся под тем же углом по направлениям OA' и ОВ'. По этим направлениям отраженные волны будут усиливать друг друга при условии, что разность хода обеих волн, выражающаяся суммой, равной двум катетам МО' и O'N, будет равна целому числу длин волн пλ. Это приводит к равенству 2N0' = пλ, а так как NO' = d sin θ то получаем

2 sin θ = пλ (11)

Это уравнение называется формулой Вульфа — Брэгга, так как одновременно с Вульфом этот вывод был сделан английскими физиками - отцом и сыном Брэггами. Формула эта чрезвычайно проста и удобна; в дальнейшем мы будем пользоваться ею довольно часто, также будем употреблять термин отражение рентгеновских лучей от плоскости. Однако необходимо иметь в виду, что если бы атомную плоскость, т. е. двухмерную решетку, способную рассеивать рентгеновские лучи, удалось получить практически, то представилась бы более сложная интерференционная картина, подобная той, которую мы уже рассматривали ранее.

Рис. 21. К выводу формулы Вульфа - Брегга

Разумеется, что уравнения Лауэ и формула Вульфа - Брэгга выражают одно и то же явление интерференции рентгеновских лучей, рассеянных атомами кристаллической решетки, но представления Вульфа - Брэгга наглядней и проще.

Пользуясь формулой Вульфа - Брэгга, можно решить ряд задач; если известно межплоскостное расстояние для данного кристалла, то по углу, определяемому из положения интерференционных пятен па рентгенограмме, можно определить длину волны λ.Это будет задача спектрального рентгеновского анализа. Или наоборот, при известной длине волны λ можно определить межплоскостное расстояние; это будет задача структурного рентгеновского d анализа.

Нужно иметь в виду, что эта формула выведена без учета того, что рентгеновские лучи имеют коэффициент преломления (хотя и малый), поэтому она является приближенной. При расчетах с точностью до 0,0001Ǻ поправка на преломление рентгеновских лучей не имеет значения, но при прецизионных изменениях периодов решетки с точностью до 10^-4 - 10^-6Ǻ она должна быть принята во внимание.