2.2. Предел функции

1. Предел функции при . Пусть функция опреде­лена на некотором множестве Х и пусть точка или . Возьмем из Х последовательность точек, отличных от :

, , , …, , …, (2.1)

сходящуюся к х₀ (предполагается, что такая последовательность существует). Значения функции в точках этой последователь­ности также образуют числовую последовательность

, , , …, , …, (2.2)

и можно ставить вопрос о существовании ее предела.

Определение 1. Число А называется пределом функции в точке (или при ), если для любой сходящейся к х₀ последовательности (2.1) значений аргумента х, отличных от , соответствующая после-довательность (2.2) значений функции схо­дится к числу А.

Символически это записывается так: .

Функция может иметь в точке х₀ только один предел. Это следует из того, что последовательность имеет только один предел.

Р а с с м о т р и м п р и м е р ы.

1. Функция имеет предел в каждой точке х₀ числовой прямой. В самом деле, если (2.1) – любая последовательность, сходящаяся к , то последовательность (8.2) имеет вид С, …, С, ..., С, ..., т.е. . Отсюда заключаем, что при n → ∞ или .

2. Функция имеет в любой точке х₀ числовой прямой предел, равный . В этом случае последовательности (2.1) и (2.2) тождественны, т.е. . Следовательно, если , то при или .

3. Функция (рис. 6), определенная для всех , в точке не имеет предела. Действительно, возьмем две последовательности значений аргумента х: 1/π , 1/(2π), 1/(3π), ..., 1/(пπ), ... и 2/π, 2/(5π), 2/(9π) ..., 2/[(4п3)π], ... сходящиеся к нулю. Для них соответствующими последователь­ностями значений функции являются:

и

.

Р ис. 6

Так как при любом п

, a

то для первой последовательности , а для второй последовательности .

Таким образом, для двух сходящихся к нулю последовательно­стей значений аргумента х соответствующие последова­тельности значений функции имеют разные пределы. А это по определению предела фун­кции и означает, что не существует.

(29)

4. Функция имеет в точке предел, равный 1. Действительно, возьмем любую последовательность значений аргумента х, сходя­щуюся к нулю, т. е. , и , тогда имеем

Таким образом, существует , и так как он не зависит от выбора последовательности {х_п}, сходящейся к нулю, то на основании определения предела функции заключаем, что

(29)

5. Функция Дирихле, значения которой в рациональных точ­ках равны единице, а в иррациональных  нулю, не имеет предела ни в одной точке числовой прямой. Действительно, для сходя­щейся к точке последовательности рациональных значений ар­гумента предел соответствующей последовательности значений функции равен единице, а для сходящейся к точке последовательности иррациональных значений аргумента предел соответствующей последовательности значении функции равен нулю.

Существует другое определение предела функции.

Определение 2. Число А называется пределом функции в точке , если для любого числа существует число такое, что для всех , , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .

Используя логические символы, определение 2 можно записать в виде

Отметим, что неравенства , можно записать в виде .

Первое определение основано на понятии предела числовой последовательности, поэтому его часто называют определением «на языке последовательностей». Второе определение называют определением «на языке ».

Теорема 1. Первое и второе определения предела функции эквивалентны.

2. Предел функции при х → х₀ – и при х → х₀ +. В дальнейшем будут использованы понятия односторонних пределов функции, которые определяются следующим образом.

Определение 3. Число А называется правым (левым) пределом функции в точке , если для любой сходящейся к последовательности (2.1), элементы х_п которой больше (меньше) , соответствующая последовательность (2.2) сходится к А.

Символическая запись:

.

В качестве примера рассмотрим функцию

Она имеет в точке правый и левый пределы:

В самом деле, если (2.1) – любая сходящаяся к нулю последовательность значений аргумента этой функции, элементы которой больше нуля ( ), то и . Следовательно, . Аналогично устанавливается, что .

Можно дать равносильное определение односторонних пределов функции «на языке »: число А называется правым (левым) пределом функции в точке , если для любого существует такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенствам , выполняется неравенcтво . Символическая запись:

Связь между односторонними пределами и пределом функции устанавливает следующая теорема.

Теорема 2. Функция имеет в точке предел только тогда, когда в этой точке существуют как правый, так и левый пределы, и они равны. В этом случае предел функции равен односторонним пределам.

3. Предел функции при х→ ∞, при х→  ∞ и при х→ + ∞. Кроме рассмотренных понятий предела функции при и односторонних пределов существует также понятие предела функции при стремлении аргумента к бесконечности.

Определение 4. Число А называется пределом функции при , если для любой бесконечно большой последовательности (2.1) значений аргумента соответствующая последовательность (2.2) значений функции сходится к А.

Символическая запись: .

Определение 5. Число А называется пределом функции при ( ), если для любой бесконечно большой последовательности значений аргумента, элементы которой положительны (отрицательны), соответствующая последовательность значений функции сходится к А.

Символическая запись:

Р а с с м о т р и м п р и м е р. Пусть . Эта функция имеет предел, при равный нулю. Действительно, если  бесконечно большая последовательность значений аргумента, то соответствующая последовательность значений функции: является бесконечно малой и поэтому имеет предел, равный нулю, т.е. .

Определения 4  5 даны «на языке последовательностей». Можно дать равносильные определения «на языке » и записать их с помощью логических символов. В качестве примера сформулируем определение предела функции при .

Определение 6. Число А называется пределом функции при , если для любого числа существует число такое, что для всех хХ, удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .