- •А.П. Бырдин н.В. Заварзин а.А. Сидоренко математический анализ
- •Часть 1
- •Учебное пособие
- •А.П. Бырдин н.В. Заварзин а.А. Сидоренко
- •Часть 1
- •Введение
- •1. Предел последовательности
- •1.1. Множество действительных чисел
- •1.2. Числовые последовательности
- •2. Ограниченные и неограниченные последовательности.
- •1.3. Сходящиеся последовательности
- •1. Понятие сходящейся последовательности.
- •З а м е ч а н и е. Неравенство (1.1) равносильно неравенствам
- •2. Основные свойства сходящихся последовательностей.
- •, Где есть бесконечно малая.
- •1.4. Монотонные последовательности
- •1. Определение и признак сходимости монотонных последовательностей.
- •Задачи к п. 1
- •Ответы к п. 1
- •2. Функции одной переменной
- •2.1. Классификация функций
- •2.2. Предел функции
- •2.3. Теоремы о пределах функции
- •2.4. Два замечательных предела
- •1. Первый замечательный предел .
- •2. Второй замечательный предел
- •2.5. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
- •1. Бесконечно малые функции.
- •2. Бесконечно большие функции.
- •2.6. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций
- •2.7. Непрерывные функции
- •2.8. Классификация точек разрыва
- •1. Определение и классификация точек разрыва функции.
- •2.9. Основные свойства непрерывных функций
- •Задачи к п. 2
- •Ответы к п. 2
- •3. Дифференцирование
- •3.1. Производная функции
- •4. Правая и левая производные.
- •3.2. Дифференцируемость функции
- •1. Понятие дифференцируемости функции в данной точке.
- •2. Связь между понятиями дифференцируемости и непрерывности.
- •3.3. Дифференциал функции
- •3.4. Правила дифференцирования. Производные основных элементарных функций
- •1. Правила дифференцирования.
- •3. Производные тригонометрических функций.
- •4. Производная логарифмической функции.
- •6. Дифференцирование сложной функции.
- •3.5. Производные и дифференциалы высших порядков
- •2. Формулы для n-х производных некоторых функций.
- •4. Дифференциалы высших порядков.
- •3.6. Параметрическое задание функции и ее дифференцирование
- •Задачи к п. 3
- •Ответы к п. 3
- •4. Применение дифференциального исчисления к исследованию функций
- •4.1. Основные теоремы дифференциального исчисления
- •4.2. Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя
- •4.3. Формула Тейлора
- •Формула Тейлора.
- •3. Разложение некоторых элементарных функций по формуле Маклорена.
- •4.4. Исследование поведения функций и построение графиков
- •1. Признак монотонности функции.
- •2. Отыскание точек локального экстремума функции.
- •Задачи к п. 4
- •Ответы к п. 4.
- •5. Функции нескольких переменных Введение
- •5.1. Предварительные сведения: n – мерное координатное и n – мерное евклидово пространства
- •Координатное и евклидово пространства.
- •2. Множества точек n – мерного евклидова пространства.
- •5.2. Понятие функции многих переменных
- •1. Механическая модель функциональной зависимости.
- •2. Функция и область ее задания.
- •3. Геометрическое изображение функций.
- •5.3. Предел функции нескольких переменных
- •1. Предел последовательности точек.
- •2. Предел функции.
- •3. Бесконечно малые функции.
- •5.4. Непрерывность функции нескольких переменных
- •1. Непрерывность функции в точке и на множестве.
- •2. Свойства непрерывных функций нескольких переменных.
- •3. Дополнение о разрывах непрерывности.
- •5.5. Частные производные функции нескольких переменных
- •1. Частные производные функции.
- •2. Механический смысл и геометрическое истолкование.
- •3. Дополнительный материал.
- •5.6. Производные сложных функций. Производная по направлению и градиент. Экстремумы функции двух переменных
- •1. Производные сложных функций.
- •2. Производная по направлению. Градиент.
- •Ответ на вопрос о том, при каких условиях значения смешанных производных не зависят от того, в каком порядке производится дифференцирование, дает следующая теорема.
- •4. Экстремумы функции двух переменных.
- •5. Условный экстремум функции нескольких переменных.
- •Задачи к п. 5.
- •Ответы к п. 4
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •1. Предел последовательности …..……………..…………4
- •2. Функции одной переменной ...……………………......18
- •3. Дифференцирование ……..……………………………...46
- •4. Применение дифференциального исчисления к
- •5. Функции нескольких переменных….……....………..111
- •Бырдин Аркадий Петрович
- •Часть 1
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
1.2. Числовые последовательности
1. Числовые последовательности и арифметические действия над ними. Числовые последовательности изучают уже в школе. Примерами таких последовательностей могут служить: 1) последовательность всех членов арифметической и геометрической прогрессий; 2) последовательность периметров правильных п-угольников, вписанных в данную окружность; 3) последовательность , , приближен-ных значений . Уточним и расширим понятие числовой последовательности.
Определение. Если каждому числу п из натурального ряда чисел 1, 2, 3, … , п, … поставлено в соответствие действительное число , то множество действительных чисел , , , …, , … называется числовой последо-вательностью или просто последовательностью.
Числа , , , …, , … будем называть элементами (или членами) последовательности, символ – общим элементом (или членом) последовательности, а число п – его номером. Сокращенно последовательность будем обозначать символом { }. Так, например, символ обозначает последовательность .
Последовательность считается заданной, если указан способ получения любого ее элемента. Например, формула задает последовательность: 0, 2, 0, 2 … . Обращая дробь в десятичную и оставляя один, два, три и т. д. знака после запятой, получим последовательность
.
По самому определению, последовательность содержит бесконечное число элементов: любые два ее элемента отличаются, по крайней мере, своими номерами.
Введем арифметические действия над числовыми последовательностями. Пусть даны последовательности и .
Произведением последовательности на число m назовем последовательность , , , …, , …;
cуммой данных последовательностей назовем последовательность , , …., , …;
разностью – последовательность , ,…., , …;
произведением – последовательность , ,…., , …;
частным – последовательность если все члены последовательности { } отличны от нуля.
2. Ограниченные и неограниченные последовательности.
Определение 1. Последовательность называется ограниченной сверху (снизу), если существует число М (число m) такое, что любой элемент этой последовательности удовлетворяет неравенству
Определение 2. Последовательность называется ограниченной, если она ограничена и сверху и снизу.
Пусть Тогда условие ограниченности последовательности можно записать в виде
Определение 3. Последовательность называется неограниченной, если для любого положительного числа А существует элемент этой последовательности, удовлетворяющий неравенству
1.3. Сходящиеся последовательности
1. Понятие сходящейся последовательности.
Определение. Число а называется пределом последовательности , если для любого положительного числа ε существует номер N такой, что при выполняется неравенство
. (1.1)
С помощью логических символов это определение можно записать в виде
Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся. Последовательность, не являющаяся сходящейся, называется расходящейся.
Если последовательность сходится и имеет своим пределом число а, то символически это записывается так:
(1.2)
Пример. Используя определение предела последовательности, докажем, что
Возьмем любое число . Так как то для нахождения значений n, удовлетворяющих неравенству , достаточно решить неравенство , откуда получаем . Следовательно, в качестве N можно взять целую часть числа , т.е. Тогда неравенство будет выполняться при всех n N. Этим и доказано, что