- •А.П. Бырдин н.В. Заварзин а.А. Сидоренко математический анализ
- •Часть 1
- •Учебное пособие
- •А.П. Бырдин н.В. Заварзин а.А. Сидоренко
- •Часть 1
- •Введение
- •1. Предел последовательности
- •1.1. Множество действительных чисел
- •1.2. Числовые последовательности
- •2. Ограниченные и неограниченные последовательности.
- •1.3. Сходящиеся последовательности
- •1. Понятие сходящейся последовательности.
- •З а м е ч а н и е. Неравенство (1.1) равносильно неравенствам
- •2. Основные свойства сходящихся последовательностей.
- •, Где есть бесконечно малая.
- •1.4. Монотонные последовательности
- •1. Определение и признак сходимости монотонных последовательностей.
- •Задачи к п. 1
- •Ответы к п. 1
- •2. Функции одной переменной
- •2.1. Классификация функций
- •2.2. Предел функции
- •2.3. Теоремы о пределах функции
- •2.4. Два замечательных предела
- •1. Первый замечательный предел .
- •2. Второй замечательный предел
- •2.5. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
- •1. Бесконечно малые функции.
- •2. Бесконечно большие функции.
- •2.6. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций
- •2.7. Непрерывные функции
- •2.8. Классификация точек разрыва
- •1. Определение и классификация точек разрыва функции.
- •2.9. Основные свойства непрерывных функций
- •Задачи к п. 2
- •Ответы к п. 2
- •3. Дифференцирование
- •3.1. Производная функции
- •4. Правая и левая производные.
- •3.2. Дифференцируемость функции
- •1. Понятие дифференцируемости функции в данной точке.
- •2. Связь между понятиями дифференцируемости и непрерывности.
- •3.3. Дифференциал функции
- •3.4. Правила дифференцирования. Производные основных элементарных функций
- •1. Правила дифференцирования.
- •3. Производные тригонометрических функций.
- •4. Производная логарифмической функции.
- •6. Дифференцирование сложной функции.
- •3.5. Производные и дифференциалы высших порядков
- •2. Формулы для n-х производных некоторых функций.
- •4. Дифференциалы высших порядков.
- •3.6. Параметрическое задание функции и ее дифференцирование
- •Задачи к п. 3
- •Ответы к п. 3
- •4. Применение дифференциального исчисления к исследованию функций
- •4.1. Основные теоремы дифференциального исчисления
- •4.2. Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя
- •4.3. Формула Тейлора
- •Формула Тейлора.
- •3. Разложение некоторых элементарных функций по формуле Маклорена.
- •4.4. Исследование поведения функций и построение графиков
- •1. Признак монотонности функции.
- •2. Отыскание точек локального экстремума функции.
- •Задачи к п. 4
- •Ответы к п. 4.
- •5. Функции нескольких переменных Введение
- •5.1. Предварительные сведения: n – мерное координатное и n – мерное евклидово пространства
- •Координатное и евклидово пространства.
- •2. Множества точек n – мерного евклидова пространства.
- •5.2. Понятие функции многих переменных
- •1. Механическая модель функциональной зависимости.
- •2. Функция и область ее задания.
- •3. Геометрическое изображение функций.
- •5.3. Предел функции нескольких переменных
- •1. Предел последовательности точек.
- •2. Предел функции.
- •3. Бесконечно малые функции.
- •5.4. Непрерывность функции нескольких переменных
- •1. Непрерывность функции в точке и на множестве.
- •2. Свойства непрерывных функций нескольких переменных.
- •3. Дополнение о разрывах непрерывности.
- •5.5. Частные производные функции нескольких переменных
- •1. Частные производные функции.
- •2. Механический смысл и геометрическое истолкование.
- •3. Дополнительный материал.
- •5.6. Производные сложных функций. Производная по направлению и градиент. Экстремумы функции двух переменных
- •1. Производные сложных функций.
- •2. Производная по направлению. Градиент.
- •Ответ на вопрос о том, при каких условиях значения смешанных производных не зависят от того, в каком порядке производится дифференцирование, дает следующая теорема.
- •4. Экстремумы функции двух переменных.
- •5. Условный экстремум функции нескольких переменных.
- •Задачи к п. 5.
- •Ответы к п. 4
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •1. Предел последовательности …..……………..…………4
- •2. Функции одной переменной ...……………………......18
- •3. Дифференцирование ……..……………………………...46
- •4. Применение дифференциального исчисления к
- •5. Функции нескольких переменных….……....………..111
- •Бырдин Аркадий Петрович
- •Часть 1
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
1. Предел последовательности точек.
Введем предварительное понятие последовательности точек n-мерного евклидова пространства. Пусть каждому числу m натурального ряда чисел 1,2,…,m,… ставится в соответствие точка евклидова пространства . Возникающий при этом ряд точек , ,..., ,…, рассматриваемый в указанном порядке, называется последовательностью точек евклидова пространства и обозначается символом .
Определение. Последовательность точек евклидова пространства называется сходящейся, если существует точка пространства такая, что для любого положительного числа можно указать отвечающий ему номер N такой, что при выполняется неравенство . При этом точка называется пределом последовательности .
Для обозначения предела последовательности используют символы:
, или при .
Справедливо важное утверждение, сводящее сходимость последовательности точек к покоординатной сходимости.
Теорема 1. Последовательность точек n- мерного евклидова пространства сходится к точке этого пространства тогда и только тогда, когда числовые последовательности координат точек { }, { },…, { } сходятся соответственно к числам ,..., , представляющим координаты точки .
Пример. Пусть последовательность точек { } из такова, что
.
Тогда пределом последовательности точек при , будет, очевидно, точка :
.
2. Предел функции.
Рассмотрим функцию , определенную на множестве {M} точек n-мерного евклидова пространства и точку А пространства , быть может и не принадлежащую множеству {M}, но обладающую тем свойством, что в любой - окрестности этой точки содержится хотя бы одна точка множества {M}, отличная от точки А (такая точка называется предельной точкой множества {M}).
Определение 1. (Предел функции в точке А по Гейне).
Число b называется пределом (или предельным значением) функции в точке А ( или при ), если для любой сходящейся к А последовательности { } точек множества {M} задания этой функции, все элементы которой отличны от А, соответствующая числовая последовательность значений функции { } сходится к числу b.
Для обозначения предела функции в точке А используются обозначения:
или ,
где , …, - координаты точки А.
Определение 2. (Предел функции в точке А по Коши).
Число b называется пределом (или предельным значением) функции в точке А (или при ), если для любого положительного числа найдется отвечающее ему положительное число такое, что для любой точки М из множества {M} задания этой функции, удовлетворяющей условию , справедливо неравенство .
З а м е ч а н и е. Согласно определению, предел функции не зависит от способа приближения точки к точке (рис. 45).
(2)
y
-окрестность точки А.
А
b
(1)
(3)
M(x,y)
a
x
Рис. 45
Предел должен быть одним и тем же числом b при приближении точки к точке по любому пути.
Пример 1. Существует ли предел ?
Решение. Воспользуемся определением 1 предела функции. Возьмем две последовательности точек { } и {}, сходящиеся к точке О(0,0). Пусть , которые при приближаются к О(0,0). Получаем две соответствующие этим точкам последовательности значений функций
, (при ).
Следовательно, рассматриваемый предел не существует. Этот результат можно получить другим способом, устремляя точку к точке О(0,0) по прямой . Действительно,
.
Таким образом, приближаясь к точке О(0,0) по разным прямым, соответствующим разным значениям углового коэффициента , получаем разные предельные значения функции. Отсюда и следует, что предел этой функции в точке О(0,0) не существует.
Пример 2. Существует ли предел ?
Решение. Выполним оценку абсолютной величины функции. Имеем:
.
Выполнение последнего неравенства легко увидеть из рассуждений:
, , .
Поскольку , то .
Пример 3. Существует ли предел ?
Решение. Данная функция определена во всех точках плоскости, то есть пространства , кроме точки О(0,0). Вычислим предел этой функции при по любой прямой , проходящей через начало координат. Имеем:
при .
Однако эта функция не имеет предела в точке (0,0), поскольку при , получаем:
, поэтому .
Введем понятие предела функции при . Для этого надо считать, что множество {M}, на котором задана эта функция, для любого имеет хотя бы один элемент М, лежащий вне шара радиуса с центром в точке О(0,…,0).
Определение. Число b называется пределом функции при , если для любого положительного числа найдется отвечающее ему положительное число такое, что для всех точек М из множества {M} задания функции, удовлетворяющих условию , справедливо неравенство .
Для обозначения предела функции при используется символ:
.
Как и в случае функции одной переменной, арифметические операции над функциями нескольких переменных, имеющими предел в данной точке (или при , приводят к функциям, имеющим предел в точке (соответственно при ).
Теорема 2. Пусть две функции и определены на одном и том же множестве и имеют в точке пределы и . Тогда функции , , имеют в точке пределы, равные соответственно , , (в случае частного нужно дополнительно требовать, чтобы .
Доказательство этих утверждений совершенно аналогично доказательству подобной теоремы для функций одной переменной.
Пример 4. Вычислить предел .
Решение. Согласно сформулированной выше теореме, имеем:
.
Пример 5. Вычислить предел .
Решение. Используя известное из элементарной математики неравенство получим, (при и ):
.
Отсюда следует, что:
.
Таким образом, предел данной функции равен нулю.