- •А.П. Бырдин н.В. Заварзин а.А. Сидоренко математический анализ
- •Часть 1
- •Учебное пособие
- •А.П. Бырдин н.В. Заварзин а.А. Сидоренко
- •Часть 1
- •Введение
- •1. Предел последовательности
- •1.1. Множество действительных чисел
- •1.2. Числовые последовательности
- •2. Ограниченные и неограниченные последовательности.
- •1.3. Сходящиеся последовательности
- •1. Понятие сходящейся последовательности.
- •З а м е ч а н и е. Неравенство (1.1) равносильно неравенствам
- •2. Основные свойства сходящихся последовательностей.
- •, Где есть бесконечно малая.
- •1.4. Монотонные последовательности
- •1. Определение и признак сходимости монотонных последовательностей.
- •Задачи к п. 1
- •Ответы к п. 1
- •2. Функции одной переменной
- •2.1. Классификация функций
- •2.2. Предел функции
- •2.3. Теоремы о пределах функции
- •2.4. Два замечательных предела
- •1. Первый замечательный предел .
- •2. Второй замечательный предел
- •2.5. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
- •1. Бесконечно малые функции.
- •2. Бесконечно большие функции.
- •2.6. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций
- •2.7. Непрерывные функции
- •2.8. Классификация точек разрыва
- •1. Определение и классификация точек разрыва функции.
- •2.9. Основные свойства непрерывных функций
- •Задачи к п. 2
- •Ответы к п. 2
- •3. Дифференцирование
- •3.1. Производная функции
- •4. Правая и левая производные.
- •3.2. Дифференцируемость функции
- •1. Понятие дифференцируемости функции в данной точке.
- •2. Связь между понятиями дифференцируемости и непрерывности.
- •3.3. Дифференциал функции
- •3.4. Правила дифференцирования. Производные основных элементарных функций
- •1. Правила дифференцирования.
- •3. Производные тригонометрических функций.
- •4. Производная логарифмической функции.
- •6. Дифференцирование сложной функции.
- •3.5. Производные и дифференциалы высших порядков
- •2. Формулы для n-х производных некоторых функций.
- •4. Дифференциалы высших порядков.
- •3.6. Параметрическое задание функции и ее дифференцирование
- •Задачи к п. 3
- •Ответы к п. 3
- •4. Применение дифференциального исчисления к исследованию функций
- •4.1. Основные теоремы дифференциального исчисления
- •4.2. Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя
- •4.3. Формула Тейлора
- •Формула Тейлора.
- •3. Разложение некоторых элементарных функций по формуле Маклорена.
- •4.4. Исследование поведения функций и построение графиков
- •1. Признак монотонности функции.
- •2. Отыскание точек локального экстремума функции.
- •Задачи к п. 4
- •Ответы к п. 4.
- •5. Функции нескольких переменных Введение
- •5.1. Предварительные сведения: n – мерное координатное и n – мерное евклидово пространства
- •Координатное и евклидово пространства.
- •2. Множества точек n – мерного евклидова пространства.
- •5.2. Понятие функции многих переменных
- •1. Механическая модель функциональной зависимости.
- •2. Функция и область ее задания.
- •3. Геометрическое изображение функций.
- •5.3. Предел функции нескольких переменных
- •1. Предел последовательности точек.
- •2. Предел функции.
- •3. Бесконечно малые функции.
- •5.4. Непрерывность функции нескольких переменных
- •1. Непрерывность функции в точке и на множестве.
- •2. Свойства непрерывных функций нескольких переменных.
- •3. Дополнение о разрывах непрерывности.
- •5.5. Частные производные функции нескольких переменных
- •1. Частные производные функции.
- •2. Механический смысл и геометрическое истолкование.
- •3. Дополнительный материал.
- •5.6. Производные сложных функций. Производная по направлению и градиент. Экстремумы функции двух переменных
- •1. Производные сложных функций.
- •2. Производная по направлению. Градиент.
- •Ответ на вопрос о том, при каких условиях значения смешанных производных не зависят от того, в каком порядке производится дифференцирование, дает следующая теорема.
- •4. Экстремумы функции двух переменных.
- •5. Условный экстремум функции нескольких переменных.
- •Задачи к п. 5.
- •Ответы к п. 4
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •1. Предел последовательности …..……………..…………4
- •2. Функции одной переменной ...……………………......18
- •3. Дифференцирование ……..……………………………...46
- •4. Применение дифференциального исчисления к
- •5. Функции нескольких переменных….……....………..111
- •Бырдин Аркадий Петрович
- •Часть 1
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
2. Свойства непрерывных функций нескольких переменных.
Доказательства перечисленных ниже свойств непрерывных функций нескольких переменных аналогичны доказательствам соответствующих свойств функций одной переменной, поэтому они не приводятся.
Арифметические операции над непрерывными функциями.
Если функции и заданы на одном и том же множестве и непрерывны в некоторой точке этого множества, то функции , и также непрерывны в точке (в случае частного необходимо дополнительно требовать, чтобы ).
Непрерывность сложной функции двух переменных.
Если и - непрерывные функции в точке плоскости , а функция непрерывна в точке , плоскости , то сложная функция будет непрерывна в точке .
Пример 1. В каких точках непрерывна функция
?
Решение. Эта функция непрерывна всюду, так как она представляет собой сумму двух функций, каждая из которых является композицией непрерывных функций.
Пример 2. В какой области определена функция ? Где она непрерывна?
Решение. Частное определено при , т. е. во всех точках плоскости, кроме оси . Предполагая, что , видим, что функция определена для всех тех значений переменных и , для которых отношение не является нечетнократным числу , т. е. ,
Таким образом, функция определена для всех точек , которые не принадлежат прямой и ни одной из прямых
, , . . . , , . . .
Так как рассматриваемая функция является в этой области композицией непрерывных функций, то она непрерывна всюду, где определена.
3. Дополнение о разрывах непрерывности.
У функций одного аргумента читатель встречался с тремя типами разрывов: бесконечными разрывами, конечными скачками (разрывами первого рода) и точками, в которых функция не стремится к пределу (с одной, либо с обеих сторон). У функций многих переменных такая простая классификация невозможна. У таких функций нарушение непрерывности может происходить не только в уединенных точках, но и вдоль линий или поверхностей (для функций трех и более переменных).
Пример 3. Установить, будет ли непрерывной в точке O (0,0) функция
Решение. Эта функция непрерывна в точке О(0,0) по каждой из переменных и , т. е. непрерывна на каждой из координатных осей. Это очевидно, так как на оси ; на оси . Однако она непрерывной не является. Действительно, рассмотрим прямые, проходящие через точку О(0,0) вида . В каждой точке такой прямой, за исключением точки О(0,0), функция принимает одно и то же постоянное значение (при фиксированном ). Таким образом, пределы функции для разных прямых (разные ) различны и, к тому же, не совпадают со значением функции в точке О(0,0). Функция разрывна – на всех рассматриваемых прямых она испытывает конечный скачок, равный .
Пример 4. Найти точки разрыва функции .
Р
z
y
Рис. 16
x
Рис. 48
Пример 5. Найти точки разрыва функции
.
Решение. Поскольку числитель и знаменатель – непрерывные функции, то функция может иметь разрывы лишь в точках, в которых знаменатель обращается в нуль. Решая уравнение , получаем ; т. е. функция имеет разрывы на этой прямой.
Рассмотрим поведение функции при , когда точка принадлежит прямой . Имеем:
Значит, точки прямой - точки устранимого разрыва функции. Рассмотрим теперь характер разрыва в точке О(0,0). Получаем
.
Отсюда следует, что О(0,0) – точка бесконечного разрыва.