1. Предел последовательности

1.1. Множество действительных чисел

Понятие множества является одним из основных неопределяемых понятий математики. Под множеством понимают совокупность (собрание, класс, семейство...) некоторых объектов, объединенных по какому-либо признаку.

Объекты, из которых состоит множество, называются его элемен­тами. Множества принято обозначать заглавными буквами латин­ского алфавита а их элементы — малыми буквами .

Если элемент принадлежит множеству , то записывают ; запись или означает, что элемент не принадлежит мно­жеству .

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пу­стым, обозначается символом .

Элементы множества записывают в фигурных скобках, внутри ко­торых они перечислены (если это возможно), либо указано общее свой­ство, которым обладают все элементы данного множества.

Например, запись = {1, 3, 15} означает, что множество состоит из трех чисел 1, 3 и 15; запись = { : } означает, что множество состоит из всех действительных (если не оговорено иное) чисел, удовлетворяющих неравенству .

Множество называется подмножеством множества , если каждый элемент множества является элементом множества . Символически это обозначают так (« включено в ») или («множество включает в себя множество »).

Говорят, что множества и равны или совпадают, и пишут , если и . Другими словами,

Объединением (или суммой) множеств и называется множество, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из этих множеств. Объединение (сумму) множеств обо­значают (или ). Кратко можно записать = { : или }.

Пересечением (или произведением) множеств и называется множество, состоящее из элементов, каждый из которых принад­лежит множеству и множеству . Пересечение (произведение) мно­жеств обозначают (или ). Кратко можно записать = { : и }.

В дальнейшем, для сокращения записей, будем использовать неко­торые простейшие логические символы:

— означает «из предложения следует предложение »;

— «предложения и равносильны», т.е. из следует и из следует ;

— означает «для любого», «для всякого»;

— «существует», «найдется»;

: — «имеет место», «такое что».

Например: 1) запись : означает: «для всякого элемента имеет место предложение »;

2) ( ) ( или ); эта запись определяет

объединение множеств и .

Множества, элементами которых являются числа, называются числовыми. Примерами числовых множеств являются:

- множество натуральных чисел;

- множество целых неотрицательных чи­сел;

- множество целых чисел;

- множество рациональных чисел.

- множество действительных чисел.

Между этими множествами существует соотношение

.

Множество содержит рациональные и иррациональные числа. Вся­кое рациональное число выражается или конечной десятичной дробью или бесконечной периодической дробью. Так, - рациональные числа.

Действительные числа, не являющиеся рациональными, называ­ются иррациональными.

Теорема. Не существует рационального числа, квадрат которого равен числу 2.

Допустим, что существует рациональное число, представленное не­сократимой дробью , квадрат которого равен 2. Тогда имеем:

, т.е. .

Отсюда следует, что (а значит, и ) - четное число, т.е. . Подставив в равенство , получим , т.е. . Отсюда следует, что число - четное, т.е. . Но то­гда дробь сократима. Это противоречит допущению, что дробь несократима. Следовательно, не существует рационального чи­сла, квадрат которого равен числу 2.

Иррациональное число выражается бесконечной непериодической дробью. Так, , - иррациональные числа. Можно сказать: множество действительных чисел есть множе­ство всех бесконечных десятичных дробей. И записать

, где , .