3. Геометрическое изображение функций.

Подобно тому, как функцию одной переменной изображают в виде линии на плоскости – ее графика, можно геометрически истолковать и функции многих переменных. Однако график сохраняет наглядность только для функций двух переменных – в этом случае график представляется поверхностью в трехмерном пространстве.

y

x

Рис. 41

Область определения функции в примере 5

Определение. Графиком функции двух переменных называется множество точек трехмерного пространства , если точка плоскости принадлежит области задания функции, а значение функции – области значений.

Изображение функции двух переменных осуществляется так: строим прямоугольную систему координат х, у, z и относим каждой точке области определения функции точку с третьей координатой, равной . Когда точка (x,y) пробегает область определения функции, соответствующая точка описывает в пространстве некоторую поверхность. Эту поверхность и принимают за геометрическое изображение функции, то есть – график функции.

Пример 6. Изобразить график функции

. Областью задания этой функции, как мы знаем, является круг с центром в начале координат и радиусом a. Графиком этой функции является верхняя половина сферы (рис. 42).

a

a

x

y

Если разрешить это уравнение относительно z, получим две однозначные функции , . Графиком первой из них является верхняя полусфера, графиком другой – нижняя полусфера.

Пример 7. Изобразить график функции . Областью определения этой функции является множество всех точек плоскости , областью значений – полупрямая . Функции соответствует график – параболоид вращения (рис. 43). Это поверхность, описываемая параболой при ее вращении вокруг оси .

Рис. 43

График функции

z

0

y

x

Пример 8. Изобразить график функции (рассматриваемой как функция двух переменных). Очевидно, функция определена для всех точек плоскости. Ее графиком является параболический цилиндр (рис. 44).

0

х

у

z

5.3. Предел функции нескольких переменных

Далее в этой главе мы будем рассматривать функции двух и трех переменных, значения которых будут являться вещественными числами, то есть область их значений будет подмножеством множества или совпадать с . Введенные в п. 5.1 понятия открытых и замкнутых областей, а также окрестностей точек, будут использоваться при определении понятий предела и непрерывности функции.