5.4. Непрерывность функции нескольких переменных

1. Непрерывность функции в точке и на множестве.

Интуитивно непрерывность функции в точке можно представить себе так: во всех точках , близких к точке , значения функции мало отличаются от числа , и даже сколь угодно мало, если только точки достаточно близки к . Большей ясности этого понятия можно добиться, уточнив термины – “близки”, “мало отличаются”, “сколь угодно близки”.

Определение 1. Функция , определенная в области , называется непрерывной в точке этой области, если для всякого возможно найти такое (вообще говоря зависящее от и стремящееся к нулю вместе с ), что для всех точек области , расстояние которых от точки не превышает , т.е. для которых

или , (5.3)

выполняется равенство

. (5.4)

Замечание.Если точка - внутренняя точка области , то точки при достаточно малом заполняют весь круг (рис. 46а). Если же точка - граничная (рис. 46б), то точки заполняют лишь ту часть круга, которая принадлежит области .

y

б)

а)

M₀

M₀

D

D

x

Рис. 46

Из определения 1 вытекает формальное определение непрерывности функции в точке.

Определение 2. Функция называется непрерывной в точке , если предел этой функции в точке существует и равен значению функции в этой точке

или . (5.5)

Поскольку , то условие непрерывности (5.5) можно символически записать в виде

. (5.6)

Формула (5.6) означает, что две операции – предельный переход и , можно менять местами. То есть непрерывность функции означает возможность коммутации этих операций

Точки пространства , в которых функция не обладает свойством непрерывности, называются точками разрыва этой функции.

Отметим, что на функции трех или большего числа переменных данные выше определения непрерывности переносятся без труда.

Можно сформулировать еще одно важное определение непрерывности функции в точке , если использовать понятие открытого шара (смотри п. 5.1) и рассматривать функцию как отображение множеств. Обозначим символом - открытый шар радиуса с центром в точке в пространстве , символом - открытый шар в пространстве с центром в точке и радиусом (оба пространства и предполагаются наделенными расстоянием между точками, т. е. евклидовыми пространствами (п. 5.1)).

Определение 3. Функция , где , , называется непрерывной в точке из , если для каждого шара в существует такой шар в , образ которого при отображении содержится в указанном шаре в пространстве . То есть, если .

На рисунке 47, иллюстрирующем определение непрерывности, множества и изображены в виде плоскостей, т. е. оба они являются подмножествами . В этом случае открытые шары являются открытыми кругами с центрами в точках и соответственно. Стрелки показывают, что точки из переводятся отображением в точки .

Рис. 47

В математическом анализе ряд важных характеристик функций выражается через ее приращения. Иногда удобно использовать это понятие для определения непрерывности функции.

Н азовем полным приращением функции в точке , соответствующим приращению аргумента , разность

, (5.7)

где и принадлежат области задания функции. Если обозначить , то выражение для полного приращения функции можно записать в виде:

. (5.8)

Для функции двух переменных полное приращение функции в точке , соответствующее приращению независимых переменных , записывается в форме

. (5.9)

Поэтому формулу (5.5) в определении 2 непрерывной функции можно записать так: .

Отсюда следует: для непрерывности функции в точке необходимо и достаточно, чтобы ее полное приращение представляло собой бесконечно малую в точке функцию, т. е. необходимо и достаточно, чтобы

. (5.10)

Условие (5.10) называют разностной формой условия непрерывности функции в точке .

Определение 4. Функция , определенная на множестве , называется непрерывной на этом множестве, если она непрерывна в каждой точке этого множества.