Задачи к п. 5.
1. Вычислить повторные пределы и
,
если:
,
,
;
,
,
;
,
,
.
2.
Доказать что функция
является бесконечно малой в точке
.
3. Доказать что в точке предел функции не существует.
4. Найти точки разрыва следующих функций
1)
;
2)
;
3)
.
5. Исследовать на непрерывность функцию в точке :
Рассмотреть ее
поведение на осях координат, на прямых
и на параболах
.
6. Исследовать на непрерывность функции по отдельным переменным и по совокупности переменных
1)
в точках
и
;
2)
в точках
и
;
3)
в точках
и
.
7. Показать, что следующие функции непрерывны
1)
,
2)
.
8. Найти частные
производные следующих функций в точке
или
.
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
;
7)
;
8)
.
9. Имеет ли функция частные производные в точке , если
1)
;
2)
;
3)
4)
Найти частные производные от функций:
10.
11.
12.
4.
5.
.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
доказать, что
12.
доказать, что
13.
,
найти
14.
;
найти
15.
,
найти
16.
найти
Найти полный дифференциал:
17.
18.
19.
20. Найти
производную по направлению биссектрисы
первого координатного угла в точке М(1,
1) функции
21. Найти
производную по направлению функции
Рассмотреть направление, параллельное
биссектрисе первого координатного
угла.
22. Найти
производную по направлению функции
в точке М(1,1).
Рассмотреть случаи, когда направление
составляет с осью Ох
угол:
1)
,
2)
,
3)
23. Найти
производную функции
в точке М(1,2,1)
по направлению вектора
,
где
точка с координатами (2,4,3).
24. Найти
производную функции
в точке М(2,3,1).
Рассмотреть случаи, когда направление
совпадает: 1) с направлением радиуса-вектора
этой точки; 2) с направлением вектора
Найти grad z:
25.
в точке М(1,2).
26.
в точке М(0,3).
27.
в точке М(1,1).
28.
в точке М(1,1).
Найти grad
u
и
:
29.
в точке М(1,
1,
2).
30.
в точке М(3,
2, 1).
31.
в точке М(1,
2, 0).
32.
в точке М(3,
1,
2).
Найти частные производные второго порядка:
33.
34.
35.
36.
Проверить, что
для функций:
37.
38.
39.
40.
41.
Показать, что
Найти экстремумы функций:
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
Ответы к п. 4
1.
2.
3.
4.
5.
.
6.
7.
8.
9.
10.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
1)
23.
16/3.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
,
30.
,
31.
,
32.
,
33.
34.
35.
36.
42.
при
,
.
43. Экстремума
нет.
44.
при
.
45.
при
.
46.
при
,
.
47.
при
.
48.
Экстремума
нет. 49.
при
.
50. Экстремума
нет. 51.
при
.
52.
53.
