Задачи к п. 2

В задачах 1  3, пользуясь только определением предела функции, доказать что и заполнить таблицу:

	0,1	0,01	0,001

1.

2.

3.

Вычислить пределы следующих выражений:

4. 5. 6. .

7. 8. 9.

10. 11.

12.

13.

14. 15.

16. 17. 18. 19.

20.

Используя замечательные пределы, вычислить:

21. 22. 23.

24. 25. 26. 27. 28. 29.

30. 31. 32.

33. 34. 35.

Вычислить односторонние пределы:

36. 37. 38.

39. 40.

Найти пределы:

41. 42. 43. 44. 45.

46. 47. 48. 49. 50. 51. 52.

53. 54.

55. 56.

57. 58.

59. 60. 61. 62. . 63. . 64.

Определить порядок малости относительно при :

65. 66. 67. 68. 69.

Задана функция При каком выборе параметров, входящих в ее определение, будет непрерывной?

70. 71. 72.

Найти точки разрыва функции, исследовать их характер, в случае устранимого разрыва доопределить функцию «по непрерывности»:

73. 74.

75. 76.

77. 78.

79. 80.

Ответы к п. 2

4. 2. 5. 2. 6. . 7. 0. 8. 9. 6. 10. 11. 1.4. 12. . 13. n. 14. 3/5. 15. 1/6. 16. 17. 18. 3/2. 19. 0. 20. 7/4. 21. 3. 22. 7/3. 23. 1/. 24. 3/4. 25. 2. 26. 27. 0. 28. /. 29. 30. 1. 31. 32. 33. 34. 2. 35. . 36. +1, 1. 37. , +. 38. +, 0. 39. 0, +. 40. , . 41. 2/3. 42. 1/2. 43. 1/3. 44. 1/2. 45. 0. 46. 1/2. 47. –10/9. 48. 2. 49. 1/2. 50. –2. 51. –1/4. 52. . 53. . 54. 1. 55. 9. 56. 1. 57. 25. 58. 5. 59. 1. 60. 2. 61. . 62. 5/3. 63. –1/9. 64. 0. 65. 3/2. 66. 2/3. 67. 1. 68. 3. 69. 1.70. . 71. . 72. . 73.  точки разрыва второго рода. 74.  точка разрыва первого рода. 75.  точка устранимого разрыва; . 76.  точка устранимого разрыва; . 77.  точки разрыва второго рода. 78.  точка разрыва первого рода. 79.  точка разрыва первого рода. 80.  точка разрыва первого рода.

3. Дифференцирование

3.1. Производная функции

1. Определение производной. Пусть на некотором промежутке Х определена функция . Возьмем любую точку и зададим аргументу х в точке произвольное приращение такое, что точка также принадлежит X. Функция получит приращение .

Определение. Производной функции в точке называется предел при отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента (при условии, что этот предел существует).

Для обозначения производной функции в точке используют символы или .

Итак, по определению,

Если для некоторого значения выполняется условие

,

то говорят, что в точке функция имеет бесконечную производную знака плюс (или знака минус). В отличие от бесконечной производной определенную выше производную функции иногда называют конечной производной. Если функция имеет конечную производную в каждой точке , то производную можно рассматривать как функцию от х, также определенную на X. Из определения производной вытекает и способ ее вычисления.

Пример. Найти производную функции в точке .

Решение. Давая аргументу х в точке , приращение , найдем соответствующее приращение функции:

Составим отношение и найдем предел этого отношения при :

.

Следовательно, производная функции в точке равна числу , что в принятых обозначениях можно записать так: .

2. Геометрический смысл производной. Пусть функция определена на интервале (а,b) и пусть точка М на графике функции соответствует значению аргумента , а точка Р  значению . Проведем через точки М и Р прямую и назовем ее секущей.

Рис. 9

Обозначим через угол между секущей и осью Ох (рис. 9). Очевидно, что этот угол зависит от х. Если существует , то прямую с угловым коэф­фициентом , проходя­щую через точку ,

называют предельным положе­нием секущей МР при (или при ).

Определение. Касательной S к графику функции в точке М будем называть предельное положение секущей МР при , или, что то же, при .

Из определения следует, что для существования касательной достаточно, чтобы существовал предел , причем предел равен углу наклона касательной к оси Ох.

Если функция имеет в точке производную, то существует касательная к графику функции в точке , причем угловой коэффициент этой касательной (т.е. тангенс угла наклона ее к оси Ох) равен производной .

3. Физический смысл производной. Предположим, что функция описывает закон движения материальной точки М по прямой линии, т.е. – путь, пройденный точкой М от начала отсчета за время х.

Тогда за время пройден путь , а за время х₁ – путь . За промежуток времени точка М пройдет отрезок пути (рис. 10).

Отношение называется средней скоростью движения (v_ср) за время x, а предел отношения при определяет мгновенную скорость точки в момент времени (v_мгн ). Понятие скорости, заимствованное из физики, удобно при исследовании поведения произвольной функции. Какую бы зависимость ни отражала функция , отношение есть средняя скорость изменения у относительно изменения х, а  мгновенная скорость изменения у при . Значение производной состоит в том, что при изучении любых процессов и явлений природы с ее помощью можно оценить скорость изменения связанных между собой величин.

Рис. 10