3. Геометрическое изображение функций.
Подобно тому, как функцию одной переменной изображают в виде линии на плоскости – ее графика, можно геометрически истолковать и функции многих переменных. Однако график сохраняет наглядность только для функций двух переменных – в этом случае график представляется поверхностью в трехмерном пространстве.
y
x
Рис. 41
Область определения функции в примере 5
Определение.
Графиком
функции двух переменных
называется
множество
точек трехмерного пространства
,
если точка
плоскости
принадлежит области задания функции,
а значение функции – области значений.
Изображение функции
двух переменных осуществляется так:
строим прямоугольную систему координат
х,
у,
z
и относим каждой точке
области определения функции точку
с третьей координатой, равной
.
Когда точка (x,y)
пробегает область определения функции,
соответствующая точка
описывает в пространстве некоторую
поверхность. Эту поверхность и принимают
за геометрическое изображение функции,
то есть – график функции.
Пример 6. Изобразить график функции
.
Областью задания этой функции, как мы
знаем, является круг с центром в начале
координат и радиусом a.
Графиком этой функции является верхняя
половина сферы
(рис. 42).
a
a
x
y
Если разрешить
это уравнение относительно z,
получим две однозначные функции
,
.
Графиком первой из них является верхняя
полусфера, графиком другой – нижняя
полусфера.
Пример 7.
Изобразить график функции
.
Областью определения этой функции
является множество всех точек плоскости
,
областью значений – полупрямая
.
Функции
соответствует график – параболоид
вращения
(рис. 43).
Это поверхность, описываемая параболой
при ее вращении вокруг оси
.
Рис. 43
График
функции
z
0
y
x
Пример 8. Изобразить график функции (рассматриваемой как функция двух переменных). Очевидно, функция определена для всех точек плоскости. Ее графиком является параболический цилиндр (рис. 44).
0
х
у
z
5.3. Предел функции нескольких переменных
Далее в этой главе
мы будем рассматривать функции двух и
трех переменных, значения которых будут
являться вещественными числами, то есть
область их значений будет подмножеством
множества
или совпадать с
.
Введенные в п. 5.1 понятия открытых и
замкнутых областей, а также окрестностей
точек, будут использоваться при
определении понятий предела и непрерывности
функции.