Задачи к п. 4

1. Определить промежутки возрастания и убывания функции:

1) 2)

3)

4) 5)

2. Доказать, что функция убывает на всей числовой прямой.

3. Найти максимумы и минимумы функций:

1) 2)

3)

4) 5)

4. Решеткой длиной 120 метров нужно огородить прилегающую к дому прямоугольную площадку наибольшей площади. Определить размеры прямоугольной площадки.

5. Разложить число 10 на два слагаемых так, чтобы произведение их было наибольшим.

6. Определить наибольшую площадь прямоугольника, у которого одна сторона лежит на основании а данного треугольника, а две вершины – на боковых сторонах треугольника, если треугольник имеет высоту h.

7. Из квадратного листа картона со стороной а вырезают по углам одинаковые квадраты и из оставшейся крестообразной фигуры склеивается прямоугольная коробка. Какова должна быть сторона вырезаемого квадрата, чтобы объем коробки был наибольшим?

8. Определить размеры открытого бассейна с квадратным дном объемом V так, чтобы на облицовку его стен и дна пошло наименьшее количество материала.

9. Сечение тоннеля имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом. Периметр сечения р. При каком радиусе полукруга площадь сечения будет наибольшей?

10. В прямой круговой конус радиуса R и высоты h вписан цилиндр наибольшего объема. Найти этот объем.

11. В шар радиуса R вписан цилиндр наибольшего объема. Найти этот объем.

12. Из сектора круга радиуса R свертывается коническая воронка. При каком центральном угле она имеет наибольший объем?

13. Даны точки А(0, 3) и В(4, 5). На оси Оx найти точку, сумма расстояний которой до точек А и В наименьшая.

14. Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции

1) 2)

3) 4)

5) 6)

15. При каком значении а кривая имеет точку перегиба при х = 1?

16. При каком значении а кривая будет иметь выпуклость вниз на всей числовой прямой?

17. Найти асимптоты графиков функций:

1) 2)

3) 4)

5)

Построить графики функций:

18. 19. 20.

21. 22. 23.

24. 25.

26. 27. 28. 29. 30.

31. 32. 33. 34. 35. 36. . 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48. 49. 50. 51. 52. 53. 54. 55. 56. 57. 58. 59. 60. 61. 62. 63. 64. 65. 66. 67.

68. 69. 70.

71. 72. 73.

Ответы к п. 4.

1. 1) Возрастает на , 2) возрастает на и убывает на , 3) возрастает на и убывает на 4) возрастает на и убывает на 5) возрастает на и убывает на 3. 1) При 1/2 – минимум , 2) при 1/e – минимум, 3) при – минимум, ; при – максимум, при – минимум,  37/4; 4) при – минимум, при – максимум, 5) при – минимум, при – максимум , 4. 3030 м. 5. 5 и 5. 6. ah/4. 7. а/6. 8. 9. 10. 11. .

12. 13. (3/2, 0). 14. 1) При – точка перегиба, на (- , 2) – выпуклость вверх, на (2,  вниз; 2) при и – точки перегиба, на (- , -2) – выпуклость вниз, на (2, 1) – вверх, на (1,  вниз; 3) на (  выпуклость вниз, точек перегиба нет; 4) при и – точки перегиба, на (  выпуклость вверх, на (1, 1) – вниз, на (1,  вверх; 5) при 1/2  точка перегиба, на (0, 1/2) – выпуклость вверх, на (1/2,  вниз; 6) на выпуклость вниз, точек перегиба нет. 15. . 16. 17. 1) – вертикальная асимптота,  горизонтальная; 2) 1/2 – вертикальная асимптота, 1/2 – наклонная; 3)  вертикальные асимптоты, – наклонная; 4)  вертикальная асимптота, – наклонная; 5) две различные наклонные асимптоты при и при 18. При  максимум, ; при – минимум, ; при – точка перегиба. 19. При  максимум, ; при  минимум, ; при – точка перегиба. 20. При  максимум, 4/3; при  минимум, ; при – точка перегиба. 21. При  минимум, ; при  максимум, ; при – точки перегиба. 22. Область определения функции (, 0). При  максимум, ; на (, 0) – выпуклость вверх. 23. Область определения функции (, 1). При 2/3  максимум, ; на (, 1) – выпуклость вверх. 24. При  максимум, 3/ ; при x – точка перегиба; – горизонтальная асимптота при . 25. Область определения ; и – наклонные асимптоты при и при . 26. Область определения ; – горизонтальная асимптота. 27. При  минимум, . 28. При  максимум, ; при  минимум, . 29. При  минимум, . 30. При  минимум, ; при  максимум, ; при – точка перегиба; – горизонтальная асимптота. 31. При  минимум, ; при  максимум, . 32. При 3/5  максимум, ; при  минимум, ; при x=6/5 – точка перегиба. 33. Экстремальных точек нет;  вертикальные асимптоты, – горизонтальная асимптота. 34. Экстремальных точек нет,  вертикальные асимптоты, – горизонтальная асимптота. 35. При 2/5  максимум, ; при  минимум, ; при – точка перегиба. 36. При  максимум, ; при  минимум, ; при , – точки перегиба; – горизонтальная асимптота. 37. При  минимум, ; при – вертикальная асимптота, – горизонтальная асимптота. 38. При  максимум, ; при 1/2 – точка перегиба; – вертикальная асимптота, – горизонтальная асимптота. 39. При  максимум, ; при  минимум, ; при , – точки перегиба; – горизонтальная асимптота. 40. При х=0  максимум, ; при – вертикальные асимптоты, – горизонтальная асимптота. 41. При  максимум, ; , – вертикальные асимптоты, – горизонтальная асимптота. 42. При  максимум, 2/е; при – точка перегиба; – горизонтальная асимптота при . 43. При  минимум, f(1) = e; точек перегиба нет; – вертикальная асимптота, – горизонтальная асимптота при . 44. При 1/2  минимум, ; точек перегиба нет; – вертикальная асимптота при . 45. При – максимум, ; при – точка перегиба; – горизонтальная асимптота. 46. При  максимум, ; при  минимум, ; при – точки перегиба; – горизонтальная асимптота. 47. При  минимум, ; – точки перегиба; – горизонтальная асимптота при . 48. При  максимум, ; при , – точки перегиба; – горизонтальная асимптота при . 49. При  максимум, ; – вертикальная асимптота, – горизонтальная асимптота при . 50. При  минимум, ; при  максимум, ; – вертикальные асимптоты; – горизонтальная асимптота при . 51. Экстремальных точек нет, – вертикальная асимптота,  горизонтальные асимптоты, . 52. Экстремальных точек нет. При – точка перегиба, y=  горизонтальные асимптоты; . 53. При – максимум, ; – вертикальная асимптота, – горизонтальная асимптота при . 54. При  максимум, y=1/е; при – минимум, ; – горизонтальная асимптота; функция неотрицательная. 55. При 1/е  минимум, 1/е; (1;0) – точка пересечения с осью Ох; , точек перегиба нет. 56. При  минимум, ; функция положительна,  вертикальная асимптота при . 57. При  максимум, ; при  точка перегиба;  вертикальная асимптота при , – горизонтальная асимптота при . 58. При  минимум, ; при – максимум, ; функция неотрицательна. 59. При  максимум, ; при – минимум, , при и  точки перегиба; функция неотрицательна. 60. При  минимум, ; при – точка перегиба; – вертикальная асимптота. 61. При  максимум, ; при – точка перегиба; – вертикальная асимптота при , – горизонтальная асимптота при . 62. При  минимум, ; при – максимум, ; – вертикальная асимптота, – наклонная асимптота. 63. При  максимум, ; при – минимум, ; – вертикальная асимптота, – наклонная асимптота. 64. При  максимум, 49/12; при – максимум, 5/4; при – минимум, 9/8; при 9/7 – точка перегиба; – вертикальная асимптота, – наклонная асимптота. 65. При  минимум, ; при – максимум, ; – вертикальная асимптота, х/2 – наклонная асимптота. 66. При  минимум, ; точек перегиба нет; – вертикальная асимптота, – наклонная асимптота. 67. При  минимум, ; при – максимум, ; – вертикальные асимптоты, – наклонная асимптота. 68. Экстремальных точек нет. При ,  точки перегиба, – наклонная асимптота. 69. При  минимум, 27/4; – вертикальная асимптота, – наклонная асимптота. 70. При 1/2  минимум, ;  вертикальная асимптота при , х+3/2 – наклонная асимптота при . 71. Экстремальных точек нет. При – точка перегиба; х+/2 – наклонная асимптота при , х  /2 – наклонная асимптота при . 72. При  минимум, ; при – максимум, ; – вертикальная асимптота, – наклонная асимптота. 73. При 1/2  максимум, 1/2+/4; при – минимум, 1/2/4; х/2 – наклонная асимптота при , х/2 – наклонная асимптота при .