4.2. Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя
1.
Раскрытие неопределенности вида
.
Будем
говорить, что отношение двух функций
при
есть неопределенность вида
,
если
Раскрыть
эту неопределенность – значит вычислить
предел
,
если он существует, или установить, что
он не существует. Следующая теорема
устанавливает правило для раскрытия
неопределенности вида
.
Теорема
5 (теорема
Лопиталя).
Пусть функции
и
определены и дифференцируемы в некоторой
окрестности точки а,
за исключением,
быть может, самой точки а.
Пусть,
далее,
и
в указанной окрестности точки а.
Тогда, если существует предел отношения
производных
(конечный
или бесконечный),
то существует и предел
,
причем
справедлива формула
Эту теорему обычно называют правилом Лопиталя.
З
а м е ч а н и е 1. Если производные
удовлетворяют тем же требованиям, что
и сами функции
и
,
то правило Лопиталя можно применить
повторно. При этом получаем
З
а м е ч а н и е 2. Теорема остается верной
и в случае, когда
и
.
Р а с с м о т р и м п р и м е р ы.
1.
.
2.
3.
.
2.
Раскрытие неопределенности вида
.
Будем
говорить, что отношение двух функций
при x
a есть
неопределенность вида
,
если
Для
этой неопределенности справедливо
утверждение, аналогичное теореме 5, а
именно: если в формулировке теоремы
заменить требование
на условие
то теорема останется справедливой.
Рассмотрим примеры.
1.
2.
3.
3. Другие виды неопределенностей и их раскрытие. Неопределенности вида 0 и можно свести к неопределенностям и . Покажем это на примерах.
Пример
1. Найти
.
Решение.
Имеем неопределенность вида 0.
Но
,
и получена неопределенность вида
.
Применяя правило Лопиталя, имеем
Пример
2. Найти
Решение.
Имеем
неопределенность вида .
Но
=
и
при том же условии
получена неопределенность вида
.
Воспользовавшись правилом Лопиталя, получим
И,
наконец, рассмотрим неопределенности
вида
Такие неопределенности имеют место при
рассмотрении функций
,
если при
функция
стремится
соответственно к 0, 1 и ,
–
соответственно к 0,
и 0. Эти неопределенности с помощью
тождества
сводятся к неопределённости вида 0
,
которая уже рассмотрена.
Пример
3. Найти
Решение.
Имеем неопределенность вида
Но
и в показателе степени получена
неопределенность вида 0,
которая нами уже рассмотрена (см. пример
1). Следовательно,
Пример
4. Найти
Решение.
Имеем неопределенность вида
.
Но
,
и в показателе степени получена
неопределенность вида
.
Применяя
правило Лопиталя, получаем
Следовательно,
Пример
5. Найти
Решение.
Имеем неопределенность вида
.
Но
и
в показателе степени получена
неопределенность вида
.
Применяя правило Лопиталя, имеем
Следовательно,
4.3. Формула Тейлора
Рассмотрим одну из главных формул математического анализа, имеющую многочисленные применения как в самом анализе, так и в смежных дисциплинах.