3.5. Производные и дифференциалы высших порядков

1. Понятие производной п-го порядка. Как уже отмечалось, производная функции сама является некоторой функцией аргумента х. Следовательно, по отношению к ней снова можно ставить вопрос о существовании и нахождении производной.

Назовем производной первого порядка функции . Производная от производной некоторой функции называется производной второго порядка (или второй производной) этой функции. Производная от второй производной называется производной третьего порядка (или третьей производной) и т.д. Производные, начиная со второй, называются производными высших порядков и обозначаются

или

Производная n-го порядка является производной от производ­ной (n – 1)-го порядка, т.е.

Производные высших порядков имеют широкое применение в физике. Ограничимся физическим истолкованием второй произ­водной . Если функция описывает закон движения материальной точки по прямой линии, то первая производная есть мгновенная скорость точки в момент времени х, а вто­рая производная равна скорости изменения скорости, т.е. ускорению движущейся точки в этот момент.

2. Формулы для n-х производных некоторых функций.

1) Вычислим п-ю производную степенной функции ( ) (  любое действительное число). Последовательно диффе­ренцируя, имеем:

В частном случае, если , где m  натуральное число, получаем

2) Вычислим п-ю производную показательной функции (0 < a  1). Последовательно дифференцируя, имеем

В частности, если , то для любого n

3) Вычислим п-ю производную функции . Последо­вательно дифференцируя, имеем

Таким образом, производную любого порядка от можно вычислять по формуле

Например,

4) Аналогично можно получить формулу п-й производной функ­ции :

3. Формула Лейбница для n-й производной произведения двух функций. Пусть , где и и v – некоторые функции от переменной х, имеющие производные любого порядка. Тогда

(3.6)

Формула (3.6) называется формулой Лейбница.

Пример 1. Вычислить пятую производную функции

Решение. Полагая и , найдем , , , , ; . Подставляя эти выражения в формулу (3.6) при , получаем

Пример 2. Вычислить п-ю производную ( ) функции .

Решение. Полагая и , найдем

Подставляя в формулу (3.6), получаем

4. Дифференциалы высших порядков.

Определение. Вторым дифференциалом от функции в точке х называется дифференциал от первого дифференциала в этой точке и обозначается так: .

Аналогично можно определить дифференциал любого порядка. Отметим, что второй дифференциал и все последующие дифференциалы, в отличие от первого, не обладают инвариантностью формы.

3.6. Параметрическое задание функции и ее дифференцирование

1. Параметрическое задание функции. Пусть даны две функции

, (3.7)

одной независимой переменной t, определенные и непрерывные в одном и том же промежутке. Если строго монотонна, то обратная к ней функция однозначна, также непрерывна и строго монотонна. Поэтому у можно рассматривать как функцию, зависящую от переменной х посредством переменной t, называемой параметром: .

В этом случае говорят, что функция у от х задана параметрически с помощью уравнений (3.7).

Отметим, что функция непрерывна в силу теоремы о непрерывности сложной функции.

Пример 1. Пусть , (0  t   ). Так как функция убывает при , то данные уравнения задают параметрически функцию у от х. Если выразить t через х из первого уравнения и подставить во второе, то получим иско­мую функцию переменной х в явном виде.

Это еще легче сделать, если заметить, что

.

Отсюда у = или у = Так как функция неотрицательна для 0  t  , то перед радикалом выбираем знак плюс: . Если   t  2, то

Таким образом, можно сделать вывод, что когда t изменяется от 0 до 2, то формулы , определяют две функции переменной х, графики которых образуют окружность радиуса R.

Пример 2. Пусть , (0  t  2).

Данные равенства являются параметрическими уравнениями эллипса, так как эллипс получается из окружности радиуса а сжатием ее в а/b раз вдоль оси Оу. Из примера 1 следует, что параметрическими уравнениями окружности являются уравнения , ( ). Итак, параметрические уравнения эллипса получаются из параметрических уравнений окружности умножением правой части уравнения для ординаты у на b/а и имеют вид: , ( . Можно поступить проще. Исключая из этих уравнений параметр t (разрешая их относительно и , возводя полученные равенства в квадрат и складывая), получаем

или  уравнение эллипса. Параметрическое задание функции имеет особо важное значение при изучении движения точки. Если точка движется на плоскости, то ее координаты х, у являются функциями времени t. Задав эти функции , , мы полностью определим движение точки. Для каждого промежутка времени, в котором функция (t) строго монотонна, можно, как и раньше, определить функцию , графиком которой является кривая, описываемая за этот промежуток времени движущейся точкой. В последнем примере функции описывали движение точки по эллипсу.

2. Дифференцирование функции, заданной параметрически. Предположим теперь, что функции и имеют производные, причем на некотором промежутке. Тогда производная функции, заданной параметрически, выражается формулой

(3.8)

Пример 1. Найти , если , ( ).

Решение. Т. к. в нашем случае , то по формуле (3.8) получаем

Пусть существуют вторые производные функций и в некоторой точке t. Тогда можно вычислить вторую производ­ную функции, заданной параметрически. Заметим, что функция , в свою очередь, задана параметрически уравнениями и . Следовательно,

(3.9)

Аналогично можно получить производную от у по x любого порядка.

Пример 2. Найти , если , ( ).

Решение. , t; , , поэтому по формуле (3.9) найдем