2.7. Непрерывные функции

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки .

Определение 1. Функция называется непрерывной в точке , если предел функции и ее значение в этой точке равны, т. е.

(2.3)

Так как то соотношение (2.3) можно записать в следующем виде: т.е. для непрерывной функции можно переставить знак функции и знак предела. Приведем равносильное определение непрерывности функции «на языке последовательностей».

Определение 2. Функция называется непре­рывной в точке , если для любой последовательности значений аргумента х: , , , ..., , ..., сходящейся к ,

последователь­ность соответствующих значений функции:

, , , ..., , сходится к .

Сформулируем определение непрерывности функции «на языке  - ».

Определение 3. Функция называется непрерывной в точке , если для любого существует такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство .

Эквивалентность этих определений очевидна. Запишем определение 3, используя логические символы:

( ) ( ) ( , : | .

Если то функцию называют непрерывной в точке справа (слева). Если функция непрерывна в точке и слева и справа, то она непрерывна в этой точке.

Приведем еще одно определение непрерывности функции, которое по существу является перефразировкой первого определения. Перенесем в равенстве (2.3) в левую часть и внесем под знак предела. Так как условия и равносильны, то получаем

(2.4)

Разность называется приращением аргумента х в точке и обозначается, как правило, , а разность  приращением функции в точке , вызванным приращением аргумента , и обозначается . Таким образом, , .

Рис. 7

Отметим, что при фиксированной точке является функцией аргумента . Геометрический смысл приращений ясен из рис. 7. Равенство (2.4) в новых обозначениях принимает вид

(2.5)

Соотношение (2.5) и является еще одним определением непрерывности функции, которое можно сформулировать так.

Определение 5. Функция называется непрерывной в точке если ее приращение в этой точке является бесконечно малой функцией при .

Теорема 1. Пусть функции и g(x) непрерывны в точке х₀. Тогда функции , и также непрерывны в этой точке ( последняя при ).

Теорема 2. Всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена.

Определение 5. Если функция непрерывна в каждой точке интервала , то говорят, что функция непрерывна на этом интервале. Если функция непрерывна в каждой точке интервала и непрерывна на концах интервала, соответственно справа и слева, то говорят, что функция непрерывна на замкнутом интервале .