3.2. Метод итерации
При большом числе неизвестных линейной системы реализация метода Гаусса, дающего точное решение, приводит к сложным вычислениям. В таких случаях для нахождения корней системы иногда удобнее пользоваться приближенными методами. Рассмотрим один из этих методов – метод итераций.
Пусть дана система линейных уравнений (3.1). Введя в рассмотрение матрицы
,
,
.
систему (3.1) можно записать в виде матричного уравнения
,
(3.5)
Предполагая, что диагональные коэффициенты
,
разрешим первое уравнение системы
(3.1) относительно
,
второе – относительно
и т.д. Тогда получим эквивалентную
систему
(3.6)
где 
, 
при
и
при
Введя матрицы
, 
,
систему (3.6) можем записать в матричной форме
.
(3.7)
Для решения системы (3.6) применим метод
последовательных приближений. За
начальное приближение принимаем,
например, столбец свободных членов
.
Далее, последовательно строим матрицы-столбцы
,
,….
,
,
…
Если последовательность приближений
имеет предел
,
то этот предел является решением системы (3.6) и, следовательно, решением равносильной системы (3.1)
Метод последовательных приближений
хорошо сходится, если элементы матрицы
малы по абсолютной величине, для этого
модули диагональных коэффициентов
системы (3.1) должны быть велики по
сравнению с остальными элементами этой
матрицы. Для того чтобы процесс итераций
сходился к единственному решению этой
системы, независимо от выбора начального
приближения, необходимо выполнение
для приведенной системы (3.6) по меньшей
мере одного из условий (достаточное
условие сходимости метода итераций)
(3.8)
или
.
(3.9)
Пример.
Решить систему
методом итерации.
Решение. Приведем эту систему к виду (3.6)
Выберем начальное
приближение
Далее находим
Найдем вторые приближения корней
После новой подстановки будем иметь третьи приближения корней
и т. д.
С точностью
можно принять
Сходящийся метод итераций обладает важным свойством самоисправляемости, то есть отдельная ошибка в вычислениях не отразится на окончательном результате, так как каждое промежуточное значение неизвестных можно принять за новое начальное приближение. Если процесс итераций сходится, то окончательный результат не зависит от выбора начального приближения.
Условия (3.8), (3.9) сходимости метода итераций накладывают жесткие ограничения на коэффициенты системы (3.6). Однако, если определитель матрицы А не равен нулю, то систему (3.1) с помощью элементарных преобразований всегда можно заменить эквивалентной системой (3.6), для которой условия сходимости будут выполняться. Практически поступают следующим образом. Из заданной системы выделяют уравнения с коэффициентами, модули которых больше суммы модулей
остальных коэффициентов уравнения. Каждое выделенное уравнение выписывают в такую строку новой системы, чтобы наибольший по модулю коэффициент оказался диагональным. Из оставшихся неиспользованных и выделенных уравнений системы с помощью операций сложения уравнений и умножения уравнений на число получают новые уравнения системы такие, чтобы один из коэффициентов по абсолютной величине оказался больше суммы абсолютных величин остальных коэффициентов. При этом нужно позаботиться, чтобы каждое уравнение исходной системы участвовало в формировании новой системы.
Пример. Рассмотрим систему
Решение. В уравнении (2) коэффициент
при
по модулю больше суммы модулей остальных
коэффициентов, поэтому можно принять
это уравнение за третье уравнение новой
системы. Аналогично, уравнение (4) можно
взять в качестве первого уравнения
новой системы. Для получения уравнения
(2) с максимальным по модулю коэффициентом
при
достаточно составить разность уравнений
(1) и (3). Получим уравнение
.
Подбором убеждаемся, что за уравнение
(4) можно взять линейную комбинацию
,
т.е.
.
В итоге получаем систему уравнений, для
которой метод итерации сходится
