9.3. Решение смешанной задачи для уравнения теплопроводности типа методом
Пусть в плоскости
дана прямоугольная область
.
Требуется найти непрерывную функцию
,
удовлетворяющую внутри области
дифференциальному уравнению
,
(9.11)
начальному условию , (9.12)
граничным условиям
. (9.13)
К задаче (9.11) - (9.13) приводит, в частности, задача о распространении тепла в стержне длины , на концах которого поддерживается заданный температурный режим.
Для построения
разностной схемы решения задачи (9.11) -
(9.13) построим в области
равномерную прямоугольную сетку с
шагом
в направлении
и шагом
- в направлении
(рис. 17) . Обозначим узлы сетки через
,…,
а приближенные значения функции
в этих узлах -
.
Тогда
,
,
,
;
,
,
,
.
Для получения разностного уравнения заменим частные производные второго порядка в каждом внутреннем узле сетки разностными отношениями
,
.
После такой замены получаем двухслойную разностную схему
,
,
,
,
,
.
,
.
Для аппроксимации частных производных второго порядка рассматриваемой задачи шаблон изображен на рис.17, из которого видно, что полученная схема является неявной.
Рис. 17
Запишем разностное уравнение следующим образом
.
(9.14)
Схема (9.14) аппроксимирует уравнение (9.11) только во внутренних узлах сетки, поэтому число уравнений в схеме (9.14) меньше числа неизвестных . Недостающие уравнения получаем из граничных условий
, . (9.15)
Схема (9.14)-(9.15) неявная, поэтому значения
находят как решение системы линейных
уравнений (9.14). Для решения этой системы
можно применять любой алгоритм решения
систем линейных уравнений, однако она
обладает трехдиагональной матрицей и
рациональнее всего решать ее методом
прогонки. Таким образом, последовательно
проходя все слои
,
начиная с нулевого слоя, для которого
известны значения
,
находим сеточную функцию
,
значения которой в узлах сетки приближенно
заменяют значения искомого решения
исходного уравнения.
Замечательным свойством неявной схемы
(9.14) является ее устойчивость при любых
значениях
.
Явная схема оказывается устойчивой
только при
.
Это означает, что вычисления по явной
схеме придется вести с очень малым
шагом по
,
что может привести к большому числу
вычислений. В неявной схеме вычисления
на одном шаге требуют больше операций,
но зато величину шага
можно выбрать как угодно большой без
риска нарушить устойчивость системы.
Все это позволяет сократить число
вычислений. Для получения точного
решения следует проводить дробление
шага.
Библиографический список
1. Амосов А.А. Вычислительные методы для инженеров / А.А. Амосов, Ю.А. Дубинский, Н.В. Копченова. – М.: Высш. шк., 1994. 544 с.
2. Бахвалов Н.С. Численные методы / Н.С. Бахвалов, Н.О. Жидков, Г.Н. Кобельков. – М.: Высш. шк., 1987. 518 с.
3. Вержбицкий В.М. Численные методы / В.М. Вержбицкий. – М.: Высш. шк., 2001. 382 с.
4. Воробьев Г.Н. Практикум по вычислительной математике / Г.Н Воробьев, А.Н. Данилова. – М.: Высш. шк., 1990. 208 с.
5. Демидович Б.П. Основы вычислительной математики / Б.П. Демидович, И.А. Марон. – М.: Наука, 1970. 664 с.
6. Гутер Р.С. Элементы численного анализа и математической обработки результатов опыта / Р.С. Гутер, Б.В. Овчинский. – М.: Наука, 1970. 432 с.
7. Копченова Н.В. Вычислительная математика в упражнениях и задачах / Н.В. Копченова, И.А. Марон. – М.: Наука, 1972.
8. Ракитин В.И. Практическое руководство по методам вычислений с приложением программ для персональных компьютеров / В.И Ракитин, В.Е. Первушин. – М.: Высш. шк., 1998. 376 с.
9. Плис А.И. Лабораторный практикум по высшей математике / А.И. Плис, Н.А. Сливина. – М.: Высш. шк., 1994. 206 с.
10. Турчак Л.И. Основы численных методов / Л.И. Турчак. – М.: Наука, 1982. 318с.