5. Численное дифференцирование

5.1. Постановка вопроса

Обычное нахождение производной с помощью таблицы производной при численном решении задач применимо не всегда, в частности, если функция задана таблично, а также при решении дифференциальных уравнений разностными методами. В этих случаях обычно прибегают к приближенному дифференцированию.

Для вывода формул приближенного дифференцирования заменяют данную функцию на отрезке интерполирующей функцией (чаще всего полиномом), а затем полагают

. (5.1)

Аналогично поступают при нахождении производных высших порядков функции .

Если для интерполирующей функции известна погрешность , то погрешность производной выражается формулой

, (5.2)

то есть погрешность производной интерполирующей функции равна производной от погрешности этой функции. То же самое справедливо и для производных высших порядков.

Следует отметить, что приближенное дифференцирование представляет собой операцию менее точную, чем интерполирование. Действительно, близость друг к другу ординат двух кривых

и

на отрезке еще не гарантирует близости на этом отрезке их производных и , т.е. малого расхождения угловых коэффициентов касательных к рассматриваемым кривым при одинаковых значениях аргумента (рис. 10).

Рис.10

5.2. Формулы приближенного дифференцирования, основанные на первой интерполяционной формуле Ньютона

Пусть имеем функцию , заданную в равноотстоящих точках отрезка с помощью значений . Для нахождения на производных , и т.д. функцию приближенно заменим интерполяционным полиномом Ньютона, построенного для системы узлов , т.е.

Имеем

где .

Перепишем ее, выполнив умножение:

Так как

то

(5.3)

Аналогично, так как

то

. (5.4)

Таким же способом в случае надобности можно вычислить и производные функции любого порядка.

Иногда требуется находить производные функции в основных табличных точках . В этом случае формулы численного дифференцирования упрощаются. Так как каждое табличное значение можно считать за начальное, то положим тогда будем иметь

(5.5)

и

. (5.6)

Пример. Найти функции , заданной таблицей 6.

Таблица 6

50 55 60 65	1.6990 1.7404 1.7782 1.8129	414 378 347	-36 -31	5

Решение. Здесь . Используя первую строчку таблицы, на основании формулы (5.5), с точностью до разностей третьего порядка, будем иметь

Для оценки точности найденного значения, заметим, что так как табулированная выше функция есть , то Следовательно, Таким образом, результаты совпадают с точностью до четвертого десятичного знака.