8.3. Методы Рунге-Кутта
Численные методы решения задачи Коши
,
на равномерной
сетке
отрезка
с шагом
являются методами Рунге-Кутта, если,
начиная с данных (
,
решение ведется по следующим рекуррентным
формулам:
,
(
),
,
(8.5)
.
Метод называют методом Рунге-Кутта
порядка p, если он имеет p-й
порядок точности по шагу h, на сетке.
Порядок точности p, достигается
с помощью формул (8.5) при определенных
значениях коэффициентов
и
(
);
всегда полагают равным нулю. Эти
коэффициенты вычисляют по следующей
схеме:
1) точное
решение
и его приближение
представляют в виде разложения по
формуле Тейлора с центром
вплоть до слагаемого порядка
2) из равенства подобных членов при одинаковых степенях в двух разложениях получают уравнения, решая которые находят коэффициенты и .
Эти методы позволяют строить схемы
различного порядка точности. Заметим,
что метод Эйлера можно назвать методом
Рунге-Кутта первого порядка. Действительно,
для
формулы (8.5) преобразуются в соотношения
(8.4)
или
Метод Рунге-Кутта второго порядка
называют методом Эйлера–Коши, если
.
Алгоритм метода Эйлера-Коши получается
из формул
(8.6)
Пример. Решить задачу Коши
,
методом Эйлера-Коши на отрезке
,
с шагом
.
Решение. Формулы (8.6) в данном случае примут вид
Полагая
,
последовательно находим
при
при
Аналогично
получаем при
Метод Рунге-Кутта четвертого порядка называют классическим методом Рунге-Кутта, если
Из рекуррентных формул (8.6) получим алгоритм решения задачи Коши классическим методом Рунге-Кутта
(8.7)
Графиком
приближенного решения является ломаная,
последовательно соединяющая точки
.
С увеличением порядка численного метода
звенья ломаной приближаются к ломаной,
образованной хордами интегральной
кривой
,
последовательно соединяющими точками
(
)
на интегральной кривой.
Пример. Решить задачу Коши ,
классическим методом Рунге-Кутта на отрезке , с шагом
.
Решение. Так как
,
то согласно формулам (8.7) получаем
для значений
Полагая , последовательно находим
при
при
Далее получаем при
Для наглядности численные решения одной и той же задачи Коши, рассмотренные в примерах 1-3, сведены в одну таблицу 10.
Таблица 10
|
|
Значения , найденные методом
|
Точное решение
|
||
Эйлера |
Эйлера- Коши |
Рунге- Кутта
|
|||
1 |
0.0 |
1.0 |
1.0 |
1.0 |
1.0 |
2 |
0.1 |
1.1 |
1.11 |
1.110342 |
1.110342 |
3 |
0.2 |
1.22 |
1.24205 |
1.242805 |
1.242805 |
4 |
0.3 |
1.362 |
1.39846 |
1.399717 |
1.399718 |
5 |
0.4 |
1.581804 |
1.581804 |
1.583648 |
1.583649 |
