1. Действия над приближенными числами

0. 1.1. Основные источники погрешностей

Решение многих прикладных задач связано с применением численных методов. Поэтому получить точное решение таких задач практически невозможно. Полученные решения почти всегда являются приближенными, т.е. содержат погрешности. Погрешности, встречающиеся при решении таких задач, можно условно подразделить на несколько групп.

1. Погрешности, связанные с самой постановкой математической задачи (погрешность задачи). В частности, неточно заданы исходные данные.

2. Применяемые для решения задач методы, в большинстве случаев, являются приближенными. Используемые в математических формулах числовые параметры могут быть определены лишь приближенно. Таковы, например, многие физические константы.

3. Погрешности, связанные с действиями над приближенными числами (погрешности действий). Так при вводе исходных данных, при выполнении арифметических действий, при получении результатов производится округление этих чисел.

0. 1.2. Приближенные числа. Абсолютная и относительная погрешности

Приближенным числом а называется число, незначительно отличающееся от точного числа и заменяющее его в вычислениях. В этом случае пишут .

Абсолютной погрешностью приближенного числа называется абсолютная величина разности между истинным и приближенным значениями

. (1.1)

Относительной погрешностью приближенного числа а называется отношение абсолютной погрешности к модулю точного числа

. (1.2)

Формулы (1.1)-(1.2) применимы, если известно точное число . Чаще всего точное значение числа неизвестно и эти формулы для погрешностей практически не могут использоваться. В этом случае вместо теоретических величин вводят предельные погрешности.

Предельной абсолютной погрешностью приближенного числа называется наименьшая верхняя оценка абсолютной погрешности этого числа

. (1.3)

Отсюда следует, что точное число заключено в границах

,

что для краткости записывается в виде .

Предельной относительной погрешностью приближенного числа называется наименьшая верхняя граница относительной погрешности

. (1.4)

Из формулы (1.4) видно, что за предельную абсолютную погрешность числа можно принять выражение . Так как на практике , то вместо последнего выражения используется формула

. (1.5)

Отсюда и из выражения (1.3) следует

или в сокращенной форме .

В приближенных вычислениях нужно учитывать следующие правила действия с приближенными числами.

1. Предельная абсолютная погрешность суммы приближенных чисел равна сумме предельных погрешностей слагаемых

. (1.6)

2. Если все слагаемые одного знака , то предельная относительная погрешность суммы не превышает наибольшей из относительных погрешностей слагаемых

.

3. Предельная относительная погрешность разности приближенных чисел вычисляется по формуле

(1.7)

Следует отметить, что может быть весьма большой, хотя относительные погрешности уменьшаемого и вычитаемого малы.

Пример. Вычислить относительную погрешность разности чисел и .

Решение. Найдем и по формуле (1.6) . Вычислим предельные относительные погрешности чисел и . По формуле (1.7) найдем предельную относительную погрешность разности . Отсюда видно, что в раз больше погрешности чисел и .

4. Предельная абсолютная погрешность произведения двух сомножителей вычисляется по формуле

,

а предельная относительная погрешность произведения равна сумме предельных относительных погрешностей

.

5. Предельная абсолютная погрешность отношения двух приближенных чисел дается выражением

,

а предельная относительная погрешность частного равна сумме предельных относительных погрешностей

.