4.4. Метод Ньютона

Если известно хорошее начальное приближение решения уравнения (4.1), то эффективным методом повышения точности является метод Ньютона (метод касательных). Метод состоит в построении итерационной последовательности

. (4.8)

Достаточные условия сходимости этого метода содержатся в следующей теореме.

Теорема. Пусть функция определена и дважды дифференцируема на отрезке , причем , а производные сохраняют знак на отрезке . Тогда, исходя из начального приближения , удовлетворяющего неравенству , можно построить последовательность сходящуюся к единственному на решению уравнения .

Геометрически метод Ньютона эквивалентен замене небольшой дуги кривой касательной, проведенной в некоторой точке кривой (рис.5).

Выберем, например, , для которого . Проведем касательную к кривой в точке . В качестве первого приближения корня возьмем абсциссу точки пересечения этой касательной с осью . Через точку снова проведем касательную, абсцисса точки пересечения которой даст второе приближение корня и т.д. (рис. 5).

Для оценки погрешности приближения корня можно воспользоваться неравенством

,

где - наибольшее значение модуля второй производной

на отрезке ; - наименьшее значение модуля первой производной на отрезке . Таким образом, если , то Последнее соотношение означает, что при хорошем начальном приближении корня после каждой итерации число верных десятичных знаков в очередном приближении удваивается, т.е. процесс сходится очень быстро.

Рис. 5

5. Комбинированный метод

Иногда для нахождения приближенного значения корня целесообразно использовать смешанные методы. Рассмотрим этот прием на примере метода хорд и касательных. Соединяя эти методы, получаем метод, на каждом этапе которого находим значения по недостатку и значения по избытку точного корня уравнения (4.1).

Пусть и при . Полагаем , получим

, .

Значения и , лежат по разные стороны от искомого корня (так как и имеют разные знаки). Далее на применим снова метод хорд и метод касательных. В результате получаем два числа и еще более близких к значению корня. Продолжая таким образом до тех пор, пока разность между найденными приближенными значениями не станет меньше, чем требуемая точность, получим формулы

.

.

Пример. Вычислить с точностью до положительный корень уравнения .

Решение. Так как и , то корень лежит в интервале (1;1.1). Имеем . Последовательно применяя формулу (4.3), будем иметь

Так как и при имеем , то можно принять .

Таким образом, , где .

4.6. Метод итерации

Одним из наиболее важных способов численного решения уравнений является метод итераций (метод последовательных приближений), который заключается в следующем.

Пусть дано уравнение (4.1) и требуется определить его действительные корни. Заменим это уравнение равносильным уравнением вида

. (4.9)

Выберем каким-либо способом начальное приближение искомого корня и вычислим Получим последовательность чисел Если эта последовательность – сходящаяся, т.е. существует предел, , то число является корнем уравнения (4.1). Действительно, переходя к пределу в равенстве к пределу при , получим , то есть - корень уравнения (4.1). При достаточно большом мало отличается от , следовательно, является приближенным значением корня уравнения (4.1).

Геометрически способ итерации можно показать следующим образом. На плоскости строятся графики функций и . Абсцисса точки пересечения этих графиков является действительным корнем. Взяв в качестве начальной произвольную точку , строим ломаную линию. Абсциссы вершин этой ломаной представляют собой последовательные приближения корня . Из рисунков видно, что если на отрезке , то последовательные приближения колеблются около корня (ломаная называется “спираль” (рис.6),

Рис. 6

если же производная положительна, то последовательные приближения сходятся к корню монотонно (ломаная называется “лестница” рис.7).

Рис. 7

Можно указать случаи, когда процесс итерации может быть расходящимся. Это происходит в том случае, когда .

Достаточные условия сходимости последовательности итераций содержатся в следующей теореме.

Теорема. Пусть функция определена и дифференцируема на отрезке , причем все ее значения . Тогда, если для всех выполняется неравенство , то процесс итерации сходится независимо от начального приближения . Предельное значение является единственным корнем уравнения на отрезке .

При нахождении корня (4.1) с заданной точностью или при оценке погрешности го приближения можно воспользоваться следующей формулой

Пример. Решить с точностью уравнение

Решение. Для отделения корней представим это уравнение в виде Построив графики функций и , видим, что корень этого уравнения содержится внутри отрезка (рис.8).

Положим Последовательные приближения найдем по формулам

Рис.8

Для оценки погрешности четвертого приближения воспользуемся неравенством (11.1). Так как

,

то

Следовательно, с точностью