3. Методы численного решения систем

ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Способы решения систем линейных уравнений в основном разделяются на две группы: 1) точные методы, представляющие собой конечные алгоритмы для вычисления корней системы (таковы, например, правило Крамера, метод Гаусса, метод главных элементов и др.), и 2) итерационные методы, позволяющие

получать корни системы с заданной точностью путем сходящихся бесконечных процессов (к числу их относятся метод итерации, метод Зейделя, метод релаксации и др.).

3.1. Метод Гаусса

Наиболее распространенным приемом решения систем линейных уравнений является алгоритм последовательного исключения неизвестных, который называется методом Гаусса.

Пусть дана система линейных уравнений

(3.1)

Рассмотрим общую схему метода Гаусса для систем, имеющих единственное решение.

Предположим, что . В противном случае можно поменять местами первое уравнение с уравнением, в котором коэффициент при неизвестном отличен от нуля. Уравнение, с помощью которого преобразуют остальные уравнения, называют разрешающим уравнением, а коэффициент этого уравнения при неизвестном, исключаемом из остальных уравнений, - разрешающим элементом. Разделим первое уравнение системы (3.1) на . Оно примет вид

, (3.2)

где

Умножим разрешающее уравнение (3.1) на и вычтем полученное уравнение из второго уравнения системы (3.1). Аналогично преобразуем остальные уравнения. В результате этих операций система запишется так:

, (3.3)

где

Теперь, оставив без изменения первое уравнение системы (3.3) , можно сделать второе уравнение разрешающим и применить описанную процедуру к системе из уравнений, исключив неизвестное из третьего и последующих уравнений. Получим систему вида

где

Продолжая аналогичные вычисления, приведем систему (3.3) к эквивалентной системе

(3.4)

в котором матрица из коэффициентов имеет треугольный вид.

Проведенную последовательность преобразований данной системы называют прямым ходом в методе Гаусса. Обратным ходом называется последовательное исключение неизвестных, начиная с -го уравнения и заканчивая первым.

Пример. Решить систему

методом Гаусса.

Решение. Разделим первое (разрешающее) уравнение на 5 и вычтем преобразованное первое уравнение из второго и третьего уравнений исходной системы. В результате получим систему, в которой неизвестное исключено из второго и третьего уравнений

Теперь второе уравнение будет разрешающим с разрешающим элементом . Разделим второе уравнение на и вычтем преобразованное второе уравнение, умноженное на из третьего уравнения, исключая тем самым неизвестное в последнем уравнении. Получим систему

Далее, подставляя значение во второе уравнение, находим . Полученные значения и подставляем в первое уравнение и находим .

Для уменьшения погрешности вычислений существуют различные модификации метода Гаусса. Одна из модификаций метода Гаусса с выбором максимального элемента по столбцу состоит в следующем.

В начале первого шага прямого хода среди коэффициентов при неизвестном находят наибольший по модулю. Предположим, что это . После этого в исходной системе (3.1) можно произвести перестановку: первое уравнение можно поставить на место - го, а -е на место первого. Далее вычисления в описанной ранее последовательности.

В начале второго шага прямого хода максимальный по модулю элемент выбирают среди коэффициентов при неизвестном , снова возможна соответствующая перестановка и исключение неизвестного , начиная с третьего уравнения т.д., вплоть до последнего шага прямого хода в методе Гаусса.

Следует заметить, что процедура прямого хода в методе Гаусса может привести не к треугольной матрице (3.4), а к двум другим случаям:

1. число преобразованных уравнений системы меньше числа неизвестных (это происходит, если в процессе преобразований получаются тождества 0=0) – тогда система имеет бесконечное множество решений;

2. все коэффициенты при неизвестных в каком либо уравнении равны нулю, в то время как свободный член уравнения отличен от нуля – тогда система не имеет решения.