1.3. Правила записи приближенных чисел

Значащими цифрами приближенного числа называют все цифры в его записи, начиная с первой ненулевой слева. Например, в числе первые три нуля не являются значащими цифрами, так как они служат для установления десятичных разрядов других цифр. Остальные два нуля являются значащими, так как первый из них находится между значащими цифрами и , а второй указывает, что в приближенном числе сохранен десятичный разряд .

Первые значащих цифр приближенного числа называются верными, если абсолютная погрешность этого числа не превышает половины единицы разряда, выражаемого -ой значащей цифрой, считая слева направо.

Например, для точного числа число является приближенным с тремя верными знаками, так как .

Если приближенное число имеет верных знаков, то относительная погрешность этого числа не превосходит , деленную на первую значащую цифру этого числа, т.е.

, (1.8)

где - первая значащая цифра числа . Если число имеет больше двух верных знаков, т.е. , то на практике используют следующую формулу

. (1.9)

Пример. Какова предельная относительная погрешность, если вместо числа взять число ?

Решение. В нашем случае и . Следовательно,

.

Пример. Сколько десятичных знаков надо взять от числа , чтобы погрешность не превышала ?

Решение. Так как первая цифра , то , причем . Имеем , отсюда и .

Формулы (1.8), (1.9) позволяют по числу верных знаков приближенного числа определить его относительную погрешность. Для решения обратной задачи – определения количества - верных знаков приближенного числа , если известна его относительная погрешность , обычно пользуются приближенной формулой

( ),

где - абсолютная погрешность числа . Отсюда

. (1.10)

Учитывая первую значащую цифру , легко установить количество верных знаков данного приближенного числа . В частности, если , то из формулы (1.10) имеем , т.е. число заведомо имеет верных знаков.

Пример. Приближенное число имеет относительную точность . Сколько в нем верных знаков?

Решение. Имеем .

Следовательно, число имеет верные лишь первые две цифры ( ).

2. Интерполирование функции

2.1. Постановка задачи интерполирования

Часто приходится рассматривать функции , заданные табличными значениями . Эти значения могут быть получены в результате расчета, эксперимента, опыта и т.д. Значения же функции в промежуточных точках неизвестны и их получения может быть связано с проведением сложных расчетов и экспериментов. В связи с этим возникает задача о приближении (аппроксимации) функций: функцию , заданную таблично или аналитически, аппроксимировать функцией , так, чтобы отклонение от в заданной области было наименьшим.

Если приближение строится на заданном дискретном множестве, то аппроксимация называется точечной. К ней относится интерполирование, среднеквадратичное приближение и другие методы. При построении приближения на непрерывном множестве точек аппроксимация называется непрерывной (интегральной).

Пусть на заданы точки , которые называют узлами интерполяции, и значения некоторой неизвестной функции в этих точках Требуется построить функцию (интерполирующая функция) значение которой в узлах интерполяции равны соответствующим значениям заданной функции

.

Функция содержит параметр , с помощью которых устанавливается близость и . Значения этих параметров подбирают так, чтобы в узлах интерполирования выполнялись условия

(2.1)

Геометрически это означает, что нужно найти кривую некоторого определенного типа, проходящую через заданную систему точек .

В такой общей постановке задача может иметь бесчисленное множество решений или не совсем не иметь решений. Однако эта задача становится однозначной, если вместо произвольной функции искать многочлен степени не выше , удовлетворяющий условиям (2.1), т.е. такой, что

Полученную интерполяционную формулу обычно используют для вычисления значения данной функции в любой точке . Такая задача называется интерполированием функции (продолжение функции на внутренние точки отрезка ).