Решение смешанной задачи для уравнения гиперболического типа методом сеток
Пусть в плоскости
дана прямоугольная область
.
Требуется найти непрерывную функцию
,
удовлетворяющую внутри области
дифференциальному уравнению
,
(9.6)
начальному
условию
,
(9.7)
граничным условиям
.
(9.8)
Для
построения разностной схемы решения
задачи (9.6) – (9.8) выберем шаги
по
и
построим в области
сетку
,
,
,
.
Значение функции
в узлах сетки называются сеточной
функцией
,
приближенные значения которой требуется
найти.
Для получения разностного уравнения аппроксимируем частные производные второго порядка в каждом внутреннем узле сетки на шаблоне, показанным на рис. 16. Эти производные, выраженные через разностные отношения, будут иметь вид
,
.
Здесь
– приближённое значение функции
в узле (
).
После такой замены получаем следующую
разностную аппроксимацию уравнения
(9.6)
.
(9.9)
После преобразования уравнения (9.9) получаем трёхслойную разностную схему
(9.10)
Схема (9.10) называется трёхслойной потому,
что связывает между собой значения
функции
на трёх временных слоях: с номерами
.
Схема (9.10) явная, т.е. позволяет в явном
виде выразить
через значения
с предыдущих двух слоёв.
Численное решение задачи состоит в
вычислении приближённых значений
решения
в узлах
при
,
. Алгоритм решения основан на том, что
решение на каждом следующем слое (
)
можно получить пересчётом решений с
двух предыдущих слоёв (
)
по формуле (9.10). На нулевом временном
слое (
)
решение известно из начального условия
.
Для вычисления решения на первом слое
(
)
можно использовать такой прием, состоящий
в том, что если положить
,
то
.
Теперь для вычисления решений на
следующих слоях можно применять формулу
(9.10). Решение на каждом следующем слое
получается пересчётом решений с двух
предыдущих слоёв по этим формулам.
Описанная выше схема аппроксимирует
задачу (9.6) – (9.8) с точностью
.
Невысокий порядок аппроксимации по
объясняется использованием слишком
грубой аппроксимации для производной
по
в формуле (9.6).
Схема устойчива, если выполнено условие
Куранта
.
Это означает, что малые погрешности,
возникающие, например, при вычислении
решения на первом слое, не будут
неограниченно возрастать при переходе
к каждому новому временному условию.
При выполнении условий Куранта схема
обладает равномерной сходимостью, т.е.
при
решение разностной задачи равномерно
стремится к решению исходной смешанной
задачи (9.6) – (9.8).
Недостаток схемы в том, что как только
выбрана величина шага сетки
в направлении
,
появляется ограничение на величину
шага
по переменной
.
Если необходимо произвести вычисления
для большого значения величины
,
то может потребоваться большое количество
шагов по переменной. Указанный недостаток
характерен для всех явных разностных
схем.