5.3. Конечно-разностные аппроксимации производных
Пусть отрезок
разбит на
(
)
равных частей точками
:
.
Разность между соседними
значениями аргумента постоянна, т.е.
шаг
,
(
).
Далее, пусть на отрезке
определена функция
,
значения которой в
точках
равны
(
).
Запишем выражения для первой производной функции в точке с помощью отношения конечных разностей:
а) аппроксимация с помощью разностей вперед (правых разностей)
,
,
(
);
(5.7)
б) аппроксимация с помощью разностей назад (левых разностей)
,
,
(
)
; (5.8)
в) аппроксимация с помощью центральных разностей
(точка
является центром
системы точек
,
,
)
,
,
(
).
(5.9)
Аппроксимация производной с помощью центральных разностей представляет собой среднее арифметическое соотношений (5.7) и (5.8) в точках ( ).
Отметим, что соотношения
(5.7) и (5.9) не позволяют вычислить производную
в точке
,
а (5.8) и (5.9) - в точке
.
Можно показать, что для
функции
,
имеющей непрерывную
производную до второго порядка
включительно, погрешность аппроксимации
производных разностями вперед и назад
имеет один и тот же порядок
,
а погрешность
аппроксимации центральными разностями
(5.9) для функции
,
имеющей непрерывную
производную до третьего порядка
включительно, имеет порядок
.
Приближенное значение
производной второго порядка в точке
выразим через
значения функции
,
,
.
Для этого представим вторую
производную с помощью правой разности:
,
,
а производные первого
порядка
и
-
с помощью левых разностей:
и окончательно получим
(5.10)
Погрешность последней
аппроксимации имеет порядок
для функции
,
имеющей непрерывную производную до
четвертого порядка включительно на
отрезке
.
Естественно, что представление (5.10) с
помощью конечных разностей позволяет
вычислять значения второй производной
только во внутренних точках отрезка.
6. Среднеквадратичное приближение функций
Пусть для неизвестной
функции
в точках
экспериментальным путем получены
значения
.
Интерполяция позволяет аппроксимировать
таблично заданную функцию
с помощью более простой функции
.
При этом требуется выполнение в узлах
интерполяции
равенства
(
).
В ряде случаев выполнение этого условия
затруднительно или даже не целесообразно.
При большом числе узлов интерполяции
степень интерполирующего многочлена
получается высокой. Поэтому точность
такой аппроксимации гарантирована лишь
в небольшом интервале порядка несколько
шагов сетки. Для другого интервала
приходится заново вычислять коэффициенты
интерполяционной формулы. В практических
приложениях желательно иметь единую
приближенную формулу
(
),
пригодную для большего отрезка
.
При этом точность приближения может
оцениваться по разному. В основу обычно
берется рассмотренное отклонение
(
).
Если требуется малая величина отклонения одной функции от другой во всех точках отрезка, то за меру близости принимают их максимальное отклонение
(
),
требуя, чтобы оно было меньше заданного . В этом случае близость между функциями и называется равномерной.
Часто вместо равномерной близости рассматривают их близость “в среднем”. В качестве меры близости берут среднее квадратическое отклонение
.
Требование прохождение графика аппроксимирующей функции через все заданные точки не всегда разумно по крайне мере по двум причинам:
1. Если узлов интерполяции много ( велико), то с аппроксимацией трудно обращаться как при ручном счете, так и при машинном.
2. Часто табличные значения
(
)
находят из опыта и содержат ошибки
измерений. Построение интерполирующего
многочлена в этом случае означало бы
сознательное повторение допущенных
при измерениях ошибок. В этом случае
достаточно потребовать, чтобы график
функции
отклонялся от точек
(
)
по ординате на величину, не превышающую
погрешность измерений.
В связи с этим возникает задача
приближения таблично заданной функции
многочленом
,
который имеет не слишком высокую степень
и дает в некотором смысле разумную
точность аппроксимации.