4.7. Метод Ньютона для системы двух уравнений
Рассмотренные выше способы решения уравнений могут быть перенесены на случай нелинейных систем уравнений с несколькими неизвестными. Разберем случай системы двух уравнений с двумя неизвестными.
Пусть система уравнений имеет вид
(4.10)
где
и
- непрерывно дифференцируемые функции.
Пусть
,
- приближенные корни этой системы и
будем искать поправки к этим значениям.
Обозначив эти поправки соответственно
через
и
,
запишем точные значения корней
,
в виде
,
.
Таким образом, вместо системы (4.10) имеем
(4.11)
Разложим функции и в ряд Тейлора, ограничиваясь линейными членами относительно и . Будем иметь
(4.12)
Если якобиан этой системы
,
то из системы (4.12) получаем значения для поправок
,
(4.13)
. (4.14)
Следовательно, можно положить
,
(4.15)
(4.16)
(
.
Начальные значения , определяются приближено.
Пример. Найти действительные корни системы
Решение. Графическим путем найдем грубо приближенные значения корней
,
.
Подставив в систему в (4.10) получим
Вычислим Якобиан
,
отсюда
По формуле
(4.13) вычисляем
,
отсюда по формуле (4.15) находим
По формуле
(4.14) вычисляем
,
отсюда по
формуле (4.16) находим
Повторяя этот
процесс с полученными значениями корней,
получим
и т.д.
Метод итерации для системы двух уравнений
Пусть даны два уравнения с двумя неизвестными
(4.10)
где
,
непрерывные функции. Требуется найти
действительные корни этой системы.
Предположим,
что эта система имеет только изолированные
корни. Начальное приближение (
)
можно найти графически, построив кривые
,
и определив координаты их точек
пересечения.
Представим систему (4.10) в виде
(4.17)
и построим последовательные приближения по следующим формулам
;
;
;
;
(4.18)
……………………………………….
;
.
Если существуют пределы
,
,
то точка (
)
является решением системы (4.10).
Достаточные условия сходимости итерационного процесса содержатся в следующей теореме.
Теорема. Пусть в некоторой
области
имеется одно решение системы (4.17).
Если выполнены условия:
1) функции
и
определены и непрерывно дифференцируемы
в
;
2) начальное приближение (
)
и все последующие приближения (
)
принадлежат
;
3) в выполнены неравенства
то процесс последовательных приближений (4.18) сходится к корням системы (4.17), т.е. существуют пределы , .
Пример. Решить методом итераций систему уравнений
Решение. Построим кривые
и
и определим графически точки их
пересечения (рис.9). Это будут точки
и
.
Для применения метода итерации необходимо привести систему к виду (4.11), что можно сделать различными путями. Если приведем систему к виду
,
то производные
;
;
;
Рис. 9
Отсюда видно, что в окрестности точки
,
будут иметь место неравенства
,
.
Это показывает, что при таком виде
системы итерационный процесс расходится.
Определим теперь
из второго уравнения, а
из первого и запишем нашу систему в
таком виде
Здесь
;
;
;
За область
изоляции корня можно принять прямоугольник
,
.
Легко установить, что в этом
прямоугольнике
,
,
.
Отсюда
,
.
Следовательно, итерационный процесс сходится, но так как сумма производных по сравнительно велика, то скорость сходимости оказывается небольшой.
Вычисления с нулевыми приближениями , будем производить по формулам
,
(
).
При различных значениях
эти вычисления дают следующие результаты
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
Таким образом,
можно принять
,
.