4.4. Метод Ньютона
Если известно хорошее начальное приближение решения уравнения (4.1), то эффективным методом повышения точности является метод Ньютона (метод касательных). Метод состоит в построении итерационной последовательности
.
(4.8)
Достаточные условия сходимости этого метода содержатся в следующей теореме.
Теорема.
Пусть функция
определена и дважды дифференцируема
на отрезке
,
причем
,
а производные
сохраняют знак на отрезке
.
Тогда, исходя из начального приближения
,
удовлетворяющего неравенству
,
можно построить последовательность
сходящуюся к единственному на
решению
уравнения
.
Геометрически метод Ньютона эквивалентен замене небольшой дуги кривой касательной, проведенной в некоторой точке кривой (рис.5).
Выберем,
например,
,
для которого
.
Проведем касательную к кривой
в точке
.
В качестве первого приближения
корня
возьмем абсциссу точки пересечения
этой касательной с осью
.
Через точку
снова проведем касательную, абсцисса
точки пересечения которой даст второе
приближение
корня
и т.д. (рис. 5).
Для оценки погрешности приближения корня можно воспользоваться неравенством
,
где
-
наибольшее значение модуля второй
производной
на отрезке
;
-
наименьшее значение модуля первой
производной
на отрезке
.
Таким образом, если
,
то
Последнее соотношение означает, что
при хорошем начальном приближении корня
после каждой итерации число верных
десятичных знаков в очередном приближении
удваивается, т.е. процесс сходится очень
быстро.
Рис. 5
Комбинированный метод
Иногда для нахождения приближенного значения корня целесообразно использовать смешанные методы. Рассмотрим этот прием на примере метода хорд и касательных. Соединяя эти методы, получаем метод, на каждом этапе которого находим значения по недостатку и значения по избытку точного корня уравнения (4.1).
Пусть
и
при
.
Полагаем
,
получим
,
.
Значения
и
,
лежат по разные стороны от искомого
корня
(так как
и
имеют разные знаки). Далее на
применим снова метод хорд и метод
касательных. В результате получаем два
числа
и
еще более близких к значению корня.
Продолжая таким образом до тех пор, пока
разность между найденными приближенными
значениями не станет меньше, чем
требуемая точность, получим формулы
.
.
Пример.
Вычислить с точностью до
положительный корень уравнения
.
Решение.
Так как
и
,
то корень лежит в интервале (1;1.1). Имеем
.
Последовательно применяя формулу
(4.3), будем иметь
Так как и при имеем , то можно принять .
Таким образом, , где .
4.6. Метод итерации
Одним из наиболее важных способов численного решения уравнений является метод итераций (метод последовательных приближений), который заключается в следующем.
Пусть дано уравнение (4.1) и требуется определить его действительные корни. Заменим это уравнение равносильным уравнением вида
. (4.9)
Выберем каким-либо способом начальное
приближение
искомого корня и вычислим
Получим последовательность чисел
Если эта последовательность – сходящаяся,
т.е. существует предел,
,
то число
является корнем уравнения (4.1).
Действительно, переходя к пределу в
равенстве
к пределу при
,
получим
,
то есть
- корень уравнения (4.1). При достаточно
большом
мало отличается от
,
следовательно,
является приближенным значением корня
уравнения (4.1).
Геометрически способ итерации можно
показать следующим образом. На плоскости
строятся графики функций
и
.
Абсцисса точки пересечения этих графиков
является действительным корнем. Взяв
в качестве начальной произвольную
точку
,
строим ломаную линию. Абсциссы вершин
этой ломаной представляют собой
последовательные приближения корня
.
Из рисунков видно, что если
на отрезке
,
то последовательные приближения
колеблются около корня
(ломаная называется “спираль” (рис.6),
Рис. 6
если же
производная
положительна, то последовательные
приближения сходятся к корню монотонно
(ломаная называется “лестница” рис.7).
Рис. 7
Можно указать случаи, когда процесс
итерации может быть расходящимся. Это
происходит в том случае, когда
.
Достаточные условия сходимости последовательности итераций содержатся в следующей теореме.
Теорема. Пусть функция
определена и дифференцируема на отрезке
,
причем все ее значения
.
Тогда, если для всех
выполняется неравенство
,
то процесс итерации
сходится независимо от начального
приближения
.
Предельное значение является единственным
корнем уравнения
на отрезке
.
При нахождении корня (4.1) с заданной
точностью
или при оценке погрешности
го
приближения можно воспользоваться
следующей формулой 
Пример. Решить с точностью
уравнение
Решение. Для отделения корней
представим это уравнение в виде
Построив графики функций
и
,
видим, что корень этого уравнения
содержится внутри отрезка
(рис.8).
Положим
Последовательные приближения найдем
по формулам
Рис.8
Для оценки погрешности четвертого приближения воспользуемся неравенством (11.1). Так как
,
то
Следовательно,
с точностью
