2. Потоки платежей

В результате изучения главы 2 студент должен

знать:

- основные понятия и категории финансовой математики и основы теории стоимости денег во времени с целью осуществления сбора, анализа и обработки данных, необходимых для решения поставленных экономических задач (ПК-4);

- правила приведения денежных потоков во времени в соответствии с принятыми в организации стандартами (ПК-3);

- общие правила наращения и дисконтирования для произвольного срока и расчета экономических показателей, характеризующих деятельность хозяйствующих субъектов (ПК-2);

уметь:

- анализировать различные финансово-кредитные инструменты, осуществлять управление финансовыми операциями и принимать обоснованные инвестиционные решения (ПК-24);

- на основе типовых методик рассчитывать правила приведения денежного потока в непрерывном времени для хозяйствующих субъектов (ПК-2);

- осуществлять сбор, анализ и обработку данных, необходимых для решения поставленных экономических задач (ПК-4);

владеть:

-  навыками применения современного математического инструментария для решения экономических задач и выбором инструментальных средств для обработки данных в соответствии с поставленной задачей финансовых расчетов (ПК-5);

- основными методами накопления и дисконтирования денежных потоков; иметь навыки работы с компьютером как средством управления информацией, работать с информацией в глобальных компьютерных сетях (ОК-13);

- способами наращения процентов в условиях инфляции в соответствии с поставленной задачей, анализировать результаты расчетов и обосновать полученные выводы (ПК-5);

2.1. Разовый платёж

Правила приведения во времени. Согласно принципу временной неравноценности денег равновеликие, но разновременные денежные суммы оцениваются по-разному. Это свойство финансовых сопоставлений лежит в основе правил приведения денег во времени. В будущем денежные эквиваленты увеличиваются и отвечающие им суммы рассчитываются по формулам наращения. «Попятное» движение сопровождается снижением равноценных выплат, для определения которых используют формулы дисконтирования.

Общим правилам наращения и дисконтирования для произ­вольного срока предпошлем частный случай приведения на еди­ничном периоде. В зависимости оттого, величина какого из концевых платежей считается базовой, т. е. принимается за 100%, различают дна варианта: 1) приведение по ставке начисления; 2) приведение соответственно ставке удержания процентов.

Вариант 1.

Пусть в качестве базовой рассматривается величина Р₀ в начале периода. Тогда ставкой приведения r% считается ставка начисления процента, т. е. тот процент, на который увеличится начальная сумма P_Q за один период. В результате наращенная за один период сумма Р₁ составит величину:

(2.1)

где - дробное измерение ставки

Дисконтирование по этой ставке, называемой в этой связи еще и ставкой дисконтирования, заключается в приведении поздней выплаты P₁ к предшествующемуэквиваленту Р₀:

Вариант 2.

Пусть за базовую принята величина Р_х в конце периода. Тогда ставкой приведения q% является ставка удержания процентов, ее еще называют учетной ставкой, т. е. тот процент, на который уменьшится финальная сумма Р на один период «назад». В этом случае процедура дисконтирования определяется формулой

г де — дробное измерение ставки.

Наращение по этой ставке, называемой еще ставкой наращения по учетному проценту, заключается в приведении ранней выплаты Р₀ к последующему эквиваленту P₁

(2.2)

По отношению к другим периодам («вперед» или «назад») формулы приведения определяются принятым правилом начисления (удержания) процентов: простых или сложных.

Согласно простым процентам приросты (удержания) денежных сумм на любом периоде составляют одну и ту же долю базовой величины. Отсюда получаются следующие формулы простых процентов:

- наращение по простому проценту;

- дисконтирование по простому проценту;

- наращение по учетной ставке простого процента;

- дисконтирование по учетной ставке простого про­ цента.

Для сложных процентов одна и та же ставка берется не от базовой величины, а от результата предыдущего во времени приведения. В результате придем к формулам сложных процентов:

- наращение по сложному проценту;

— дисконтирование по сложному проценту;

— наращение по учетной ставке сложного процента;

—Дисконтирование по учетной ставке сложного про­цента.

Коэффициенты приведения денежных сумм в (2.1) и (2.2) на­зывают множителем наращения A.(n; i) и дисконтным множителем у(п; О, а промежуток приведения и измеряют в долях единичного периода, например года.

Приведение в «дробном» времени. Начисление процентов за

дробное число лет может выполняться двумя методами:

1. по формуле сложных процентов:

2. смешанным методом:

В этих формулах (а + b) — период приведения, а — целое число лет, b - дробная часть года.

Правила приведения в непрерывном времени. В практических расчетах в основном применяют дискретные проценты, т.е. проценты, начисляемые за фиксированный промежуток времени (год, полугодие, квартал и т.д.). В некоторых случаях — для эконо­мического анализа и в расчетах, связанных с непрерывными про­цессами, в математическом моделировании, а иногда и на практике — козникает необходимость в применении непрерывных процентов.

Правилу начисления по непрерывной ставке сложного процента отвечает такое изменение наращиваемой суммы S(t), при котором ее «привес» - процентные деньги за малый промежуток At — будет пропорционален длине этого промежутка и денежной сумме на его начало с коэффициентом пропорциональности 5:

Этому соотношению в непрерывном времени соответствует дифференциальное уравнение

с начальным условием S(0) = S₀. Откуда получим следующие формулы наращения и дисконтирования:

(2.3)

Процентная ставка 5 при непрерывном наращении имеет особое название — силы роста.

Согласно правилу простого процента непрерывно начисляемые проценты пропорциональны длительности времени начисления At и начальной сумме S(0) = S₀, т.е.

Предельным переходом при , получим

(2.4)

Решая это уравнение при условии S_c, придем к формуле неп­рерывного наращения по простому проценту:

Эквивалентные процентные ставки. Эффективная ставка. Пусть разнородные процентные ставки (простая, сложная, учетная и т. д.) в конкретных условиях сделки приводят к одному и тому же финансовому результату. В этом случае они являются эквивалентными. Принцип эквивалентности ставок лежит в основе многих методов количественного финансового анализа. В частности, он позволяет перейти к единообразному показателю для сопоставимого оценивания эффективности финансовых операций.

В качестве такого показателя широко используют эффективную ставку, которая оценивает финансовую операцию годовой ставкой сложных процентов. Иначе говоря, эффективной ставкой r_ef называется годичная ставка сложных процентов, дающая то же соотношение между исходной суммой So и результирующей суммой St, которая получена при любой схеме выплат. Формула эффективной ставки следует из этого определения:

Откуда

где Т— время (в годах), за которое получен доход.

Согласно схеме m-кратной капитализации на первоначальную сумму So в течение года начисляются проценты по годовой ставке i, причем число периодов начисления равно т. Будучи продолжено на Т лет, такое реинвестированиедаст результат

Отсюда, пользуясь определением эффективной ставки, найдем ее зависимость от номинальной ставки.:

(2.5)

Таким образом, эффективная ставка измеряет тот относительный доход , который может быть получен в целом за год, т.е.

сторонам безразлично, применять ли ставку i при начислении процентов т раз в год или годовую ставку r_ef - и та и другая эквивалентны в финансовом отношении. Заметим, что при увеличении частоты капитализации т период начисления становится все меньше и мы приближаемся к непрерывному наращению процентов. В пределе при т, стремящемся к бесконечности, получим формулы непрерывного приведения (1.3) с силой роста 8, равной номинальной ставке • Пользуясь определением (1.4), найдем эффективную ставку, эквивалентную непрерывному наращению с силой роста . Отсюда следует, что , т. е. операция приведения (дисконтирования, наращения) на n периодов но сложному проценту со ставкой равносильна приведению в непрерывном времени с силой роста .

Н аращение процентов и инфляция. Инфляция проявляется в росте цен Pi и может измеряться темпом их прироста г, а также периодом Т, за который они удвоятся. Первый показатель называют темпом инфляции. Он характеризует относительное изменение цены in один период:

Отсюда следует возможность описания роста цен правилом i ложных процентов. Так, при сохраняющемся темпе инфляции

Определим число лет Т, необходимых для двукратного подо­рожания. В этом случае

И

Для грубых прикидок числалет удвоения можно воспользоваться правилом числа 70:

(2.6)

Это правило получается из формулы удвоения заменой 1п2 его приближенным значением: . Очевидно, что данные формулы

можно использовать и для отрицательного темпа , т. е. когда

имеет место не прирост, а снижение.

В финансовой практике инфляцию учитывают, корректируя станку начисления процентов таким образом, чтобы компенсировать ооесценивание наращенной суммы из-за роста цен. Чтобы номинальная ставка j при годовой инфляции r соответствовала реальной ставке j, она должна удовлетворять условию

(2.7)

При невысокой инфляции произведением в формуле (1.7) можно пренебречь. В этом случае поправка на инфляцию ограничивается

величиной темпа г, и ставку корректируют по формуле

• (2.8)