Учебное пособие 2015

Методика синтеза оптимальной импульсной экстремальной системы с модулирующим воздействием будет такой же, как и в предыдущем случае.

Пример. Для тех же условий, что и в предыдущем

Изложенные методы позволяют анализировать случайные процессы в импульсных экстремальных системах без учета инерционных свойств объекта регулирования.

2.3.3. Исследование экстремальных систем методом баланса спектральных плотностей и математических ожиданий.

В[65] предложен метод анализа случайных процессов в импульсных экстремальных системах с модуляцией (ИЭСМ), позволяющий учесть как инерционные, так и нелинейные свойства объекта оптимизации.

В[65] рассматривается разностная ИЭСМ при таких допущениях.

1. Объект аппроксимируется последовательным

соединением линейного инерционного звена W2 ( p) (рис. 2.5, а) и параболического звена.

2.Возмущения δ и δ‗, являющиеся стационарными случайными функциями времени, подчиненными нормальному распределению с нулевыми математическими ожиданиями, действуют на входе и выходе нелинейного звена.

3.Рассматривается установившийся процесс.

Требуется найти выражение для среднеквадратичной ошибки системы в установившемся процессе в дискретные моменты времени с учетом нелинейных и инерционных свойств объекта, затем, минимизируя его, получить соотношение для оптимальных параметров системы, на пример для коэффициента усиления линейной части.

Ошибку системы ε (рис. 2.20, а) представим в виде двух составляющих

где е(р) — составляющая ошибки от регулирующего воздействия u (z) ,

т(р) — составляющая ошибки от модулирующего воздействия (z) .

Рис 2.20. 173

a — схема ИЭСМ разностного типа W1 (s) — сервомотор, W2 (s) — линейная инерционная часть объекта Ф — фильтр нижних частот с фиксатором нулевого порядка

(необязательна) e ST — элемент задержки, СД —синхронный детектор, НЗ — нелинейное звено с экстремальной характеристикой δ, δ —случайные помехи, θ — показатель экстремума, ε— ошибка системы, и — регулирующее воздействие, — модуляция, б — эквивалентная схема ИЭСМ для расчета флуктуационной ошибки.

Очевидно, что составляющая ошибки от модулирующего воздействия является периодической функцией времени, закон изменения которой нам известен. Далее мы будем интересоваться составляющей ошибки e(p), которая будет носить случайный характер. Если разрешить уравнение системы относительно значений ошибки e(р) и дискретные моменты времени, то, как показано в [28], получим

—передаточная функция линейной части системы. При этом

—передаточная функция последовательного соединения фильтра с фиксатором нулевого порядка (наличие этих элементов необязательно);

174

aM — амплитуда модулирующего воздействия на выходе

инерционной части объекта; α — коэффициент усиления линейной части системы;

aH — крутизна параболы.

Уравнению (2.131) соответствует структурная схема рис.

2.20, б.

Требуется определить дисперсию e2 [n] и минимизировать ее.

Для решения данной задачи воспользуемся методом баланса спектральных плотностей и математических ожиданий [32].

Рассматривая математическое ожидание и спектральную плотность сигнала ошибки системы en , получим, что

~ ~ ~

усредненное повремени математическое ожидание M [ en ] , а

спектральная плотность сигнала ошибки ee ( ) определяется из нелинейного интегрального уравнения с отклоняющимся аргументом

где (рис. 2.20, б) определяется спектральными

плотностями внешних возмущений

175

Для приближенного решения этого уравнения использован метод определения функциональных поправок, развитый в трудах чл.-корр. АН УССР Ю. Д. Соколова. Этот метод чрезвычайно полезен при рассмотрении спектральных задач, так как функциональная поправка Ю. Д. Соколова имеет здесь вполне реальный физический смысл — это дисперсия сигнала ошибки.

Поэтому, решая (2.135) по методу Ю. Д. Соколова, мы сразу же получаем выражение для дисперсии сигнала ошибки. Выражение для дисперсии случайной ошибки по первому приближению имеет вид

Если

то первое приближение отличается от нулевого

(Dee D ) всего на 10%. Как следует из (2.135), величина D представляет собою дисперсию сигнала на выходе устойчивого линейного фильтра WЭ ( j ) при воздействии на

его вход белого шума с единичной дисперсией; как показано на конкретных примерах, условия устойчивости,

накладываемые на коэффициенты WЭ ( j ) , приводят к тому, что D <<1. Поэтому можно пользоваться нулевым

приближением для довольно значительного диапазона дисперсий, определяющегося из (2.140). Этому соответствует пренебрежение нелинейными компонентами (2.131). Пример. Рассмотрим случай, когда 0, 0 .

где Dee / D — относительная дисперсия; k0 aH 2 aM

T

( aM — амплитуда модуляции); d e , Т — интервал

дискретности (сплошными линиями — по нулевому приближению, а пунктирными линиями — по первому приближению).

177

Минимизация дисперсии сигнала ошибки для этого случая показывает, что при наличии шума с дисперсией, при которой удовлетворяется (2.140), и с достаточно широким спектром ( Ш (3 4)T ) , оптимальная величина k0 ,

минимизирующая средний квадрат ошибки, не зависит от характеристик шума и определяется лишь интервалом дискретности

Рис. 2.21.

а — зависимость относительной дисперсии ошибки ИЭСМ от коэффициента усиления k0 и периода дискретности для случая 0 , 0 , б — зависимость оптимального коэффициента усиления от интервала дискретности для случая 0 , 0 , в — зависимость относительной

178

дисперсии ошибки ИЭСМ от коэффициента усиления K 0 и интервала дискретности для случая 0, 0 .

На рис. 2.21, в представлена зависимость

Dee / D f (k0 , d) , когда 0 , 0 и при тех же условиях, что и в предыдущем примере.

В работе Ю. С. Попкова [49] исследуется помехоустойчивость релейных ИЭС. Блок-схема ИЭС представлена на рис. 2.22. В [49] определяется величина дисперсии помехи с временем корреляции, значительно меньшим интервала дискретности, при которой происходит срыв установившегося периодического режима. В соответствии с [48], условие периодического режима без помех заключается в следующем:

где [N] — значение показателя экстремума; N — число

интервалов дискретности, заключенное в полупериоде автоколебаний вокруг экстремума; — порог срабатывания реле (зона нечувствительности).

При наличии помех условия периодического режима видоизменяются так:

[N] (N) , [N] [N] 0 . (2.143)

Здесь — среднее значение отклонения от периодического режима, вызванное наличием помех. Как указывалось [48, 49], условия периодического режима получают наглядную частотную интерпретацию при помощи так называемой частотной характеристики РИЭС:

179

Рис. 2.22. Блок-схема РИЭС, находящейся под действием случайной помехи ξ:

ИПЭ – измеритель показателя экстремума, РЭ – релейный элемент; ЛЧ – линейная часть системы ,СМ – сервомотор; ОБ – объект.

При наличии помех следует ввести в рассмотрение частотную характеристику M (N ) , отображающую отклонение от периодического режима

На рис. 2.48 приведены частотные характеристики РИЭС. Жирной линией показана частотная характеристика при отсутствии помех, из которой видно, что в системе существует предельный цикл с N = 9, пунктиром — суммарная частотная

180

неквадратичным значением 2 = 9,4 и тонкой линией —

видно, что если 3 , то условия существования предельного цикла с N = 9 сохраняются и система работоспособна. При 3 =17,3 условие (2.143) нарушается и

установившийся предельный цикл срывается. Этот случай соответствует тому, что точка пересечения суммарной характеристики M (N ) и прямой — лежит вне третьего

квадранта.

Таким образом, задача заключается в нахождении частотной характеристики M (N ) , которая определяется средними значениями [N] и [N] .

Для нахождения [N] и [N] должна быть задана двумерная плотность распределения помехи и ее первой разности ( , ) . Процесс нахождения [N] и

[N] заключается в следующем.

Пусть динамика линейной части системы, регулятора и объекта описываются уравнениями

P (eq 1) Q (eq 1)u[n], u[n] Ф(y[n] [n]), (2.147)

y[n] kH x 2 [n].

Тогда динамика замкнутой системы описывается нелинейным разностным уравнением

P (eq 1)x[n] Q (eq 1)Ф{-k H x 2 [n] [n]}, (2.145)

где eq e pT ,Ф( y ) - закон регулирования релейноимпульсного оптимизатора;

181

k H - крутизна параболической характеристики объекта.

Рис. 2.23. Характеристики РИЭС без помех (M[N])

и с помехами (M [N ]) .

объекта в периодическом режиме без помех;

[n] - отклонение от периодического режима, вызванное

наличием помех.

Используя (2.148) и (2.149), легко получить уравнение для отклонения от периодического режима (уравнение в вариациях [49]).

182

183

186

188

>>>Параев Ю.И.-В кн. Труды Сибир.физтех ин-та, 42,

1963

>>>Кошелев ВВ, Таланов ВИИзв высш уч заведений 6, 1963,3.Применен экстремальный регулятор с моделирующим воздействием

190