Учебное пособие 1622
.pdf
А. П. Бырдин, А. А. Сидоренко, О. А. Соколова
РУКОВОДСТВО К ПРОВЕДЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ ПО КУРСУ «МАТЕМАТИКА» В ПЕРВОМ СЕМЕСТРЕ
Учебное пособие
divFdV FndS
V S
Воронеж 2018
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФГБОУ ВО “Воронежский государственный технический университет”
А. П. Бырдин, А. А. Сидоренко, О. А. Соколова
РУКОВОДСТВО К ПРОВЕДЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ ПО КУРСУ «МАТЕМАТИКА» В ПЕРВОМ СЕМЕСТРЕ
Утверждено учебно-методическим советом университета в качестве учебного пособия
Воронеж 2018
УДК 517.2(075.8) ББК 22.1я7
Б95
Рецензенты:
кафедра математического моделирования Воронежского государственного университета (зав. кафедрой д-р физ.-мат. наук, проф. В. А. Костин);
канд. физ.-мат. наук, доц. В. И. Кузнецова
Бырдин, А. П.
Руководство к проведению практических занятий Б95 по курсу «Математика» в первом семестре: учеб. пособие / А. П. Бырдин, А. А. Сидоренко, О. А. Соколова. - Воронеж: ФГБОУ ВО «Воронежский государственный
технический университет», 2018. - 143 с.
ISBN 978-5-7731-0650-0
Учебное пособие содержит теоретический материал, необходимый для решения прикладных задач, который иллюстрируется большим количеством примеров. Имеются задачи для самостоятельного решения и типовых расчетов.
Издание соответствует требованиям Федерального государственного образовательного стандарта высшего образования по направлению подготовки бакалавров 21.03.01 «Нефтегазовое дело» (профиль «Эксплуатация и обслуживание объектов транспорта и хранения нефти, газа и продуктов переработки»), дисциплине «Математика».
Предназначено для студентов первого курса. Ил. 9. Табл. 1. Библиогр.: 4 назв.
УДК 517.2(075.8) ББК 22.1я7
ISBN 978-5-7731-0650-0 © Бырдин А. П., Сидоренко А. А.,
Соколова О. А., 2018 © ФГБОУ ВО «Воронежский
государственный технический университет», 2018
ВВЕДЕНИЕ
При написании учебного пособия авторы использовали опыт проведения практических занятий по дисциплине «Математика» для различных направлений Воронежского государственного технического университета. В частности, данное пособие предназначено для студентов очной формы обучения направления подготовки бакалавров «Нефтегазовое дело» и написано в соответствии с рабочей программой этого направления, но может быть использовано и для студентов других направлений.
В учебном пособии представлен материал, который изучается в первом семестре, это - элементы линейной и векторной алгебры, аналитической геометрии на плоскости и в пространстве, начала математического анализа. Цель работы – помочь студентам усвоить и закрепить основные положения линейной алгебры, аналитической геометрии и начала анализа.
Представленная работа направлена на совершенствование учебного процесса и способствует целенаправленному использованию знаний математики. Учебное пособие поможет студентам лучше усвоить теоретический материал, даст возможность самостоятельно научиться решать типовые задачи, подготовиться к экзамену или зачету.
По каждому разделу приведены примеры решения задач, а также многочисленные задачи для контроля усвоения материала. Ко всем рекомендуемым для самостоятельного решения задачам приведены ответы. Поэтому представленное учебное пособие полезно использовать преподавателями для проведения практических занятий.
Все приведенные в работе иллюстрации являются авторскими.
3
1. МАТРИЦЫ. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Литература: [I, приложение, §§ 1,3,4; 2, гл. 21, §§ 2-9,
§15;3, гл. 1, §§5, гл. 2,4].
1.1.Матрицы. Действия с матрицами
a11 a12 ...a1n
Прямоугольная таблица чисел вида А = a21 a22 ...a2n
... ... ... ...
am1 am2 ...amn
называется матрицей.
Здесь aij - действительные числа(i =1, 2, …, m, j =1,2,
…,n), называемые элементами матрицы, i и j – соответственно индексы строки и столбца. Матрица, имеющая m строк и n столбцов, называется матрицей размера m n.
В том случае, когда m = n (число строк равно числу
столбцов) |
матрица А называется квадратной. |
|
||||||
Упорядоченная совокупность |
элементов |
a11,a22,...,ann |
||||||
называется главной диагональю матрицы. |
|
|||||||
Единичной называется квадратная матрица E вида |
||||||||
|
1 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
0 |
|
1, |
i j, |
E |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
ij , |
где ij |
- |
|
|
|
|
0, |
i j |
||||
|
|
0 |
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
символ Кронекера.
Если в матрице А поменять местами строки со столбцами, то получится новая матрица, называемая транспонирован-
ной и обозначаемая AT . Например,
4
2 |
1 |
3 |
|
|
2 |
3 |
|
, |
AТ |
1 |
1 . |
||||
A |
1 |
|
|||||
3 |
2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
Матрицы А и B называются равными, если они имеют одинаковую размерность, а элементы матриц с одними и теми же индексами равны, т.е. A B , если aij bij
(i 1,2,...,m; j 1,2,...,n).
Суммой прямоугольных матриц А и В одинаковых размеров (m n) называется матрица С того же размера, элементы которой равны сумме соответствующих элементов А и В:
C A B, cij aij bij .
Из определения сложения матриц вытекают перемести-
тельное и |
сочетательное |
свойства: |
A B B A, |
||||||
(A B) C A (B C). |
|
|
|
|
|
|
|||
Пример. |
2 |
3 |
5 |
1 |
2 |
3 |
3 |
5 |
2 |
|
2 |
|
|
3 |
|
|
5 |
. |
|
|
1 |
1 |
1 |
2 |
0 |
1 |
|||
Под произведением матрицы А |
на число |
понимается |
|||||||
матрица, каждый элемент которой равен произведению на
aij :
aij aij
Имеют место равенства |
|
|
|
|
|
|
( )A A A, |
(A B) A B |
|||||
2 |
3 |
4 |
|
6 |
9 |
12 |
Пример. 3 |
2 |
|
|
6 |
. |
|
1 |
3 |
|
3 |
9 |
||
Произведением матриц A aij и B bij называется матрица С, элементы которой cij равны сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на элементы j -гo столбца
5
матрицы B :
n
cij ai1b1j ai2b2 j ... ainbnj aikbkj . k 1
Из определения следует, что произведение АВ в указанном порядке возможно лишь в случае, когда число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В.
Для единичной матрицы E , всегда AE EA A.
Пример. |
1 |
2 0 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
||
|
4 |
1 |
3 |
0 |
|
|
1 0 ( 2) 3 |
1 ( 1) ( 2) 1 |
1 2 ( 2) 0 |
6 |
3 |
2 |
|
4 ( 1) ( 1) 1 |
|
|
5 |
|
4 0 ( 1) 3 |
4 2 ( 1) 0 |
3 |
8 |
В общем случае произведение матриц не обладает переместительным свойством, т.е. AB BA. Если умножения возможны, то справедливы следующие равенства:
1)A(BC) (AB)C (сочетательный закон произведения);
2)(AB) ( A)B (сочетательный закон относительно
скалярного множителя); |
|
3) (A B) C AC BC, |
C (A B) CA CB (рас- |
пределительные законы). |
|
l.2. Вычисление определителей
Любой квадратной матрице А размером n n ставится в соответствие по определенному правилу некоторое число,
называемое определителем или детерминантом n-го поряд-
ка. Порядок определителя – это число строк или столбцов определителя. Начнем с определителя второго порядка.
|
|
a |
a |
|
|
Пусть дана матрица |
А= |
11 |
12 |
|
. Тогда ее определитель |
|
a22 |
|
|||
|
|
a21 |
|
|
второго порядка вычисляется по формуле
6
det A= |
a11 |
a12 |
= a |
a |
22 |
a a |
21 |
. |
|
a21 |
a22 |
11 |
|
12 |
|
Одним из способов вычисления определителя любого порядка является способ разложения определителя по какой-
либо строке или столбцу. Для рассмотрения данного способа введем следующие математические понятия. Минором элемента aij определителя n-го порядка называется определи-
тель (n-1)-го порядка, получаемый из данного определителя путем вычеркивания той строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент. Это число Mij . Алгебраиче-
ским дополнением любого элемента определителя называется число, равное минору этого элемента, взятому со знаком (+), если сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент, есть число четное и со знаком (-)
– в противном случае: Aij ( 1)i j Mij .
Пример. |
1 |
0 |
3 |
|
4 |
1 |
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2 |
4 |
1 |
; A11 |
; A12 |
|
. |
||||||
2 |
7 |
5 |
7 |
|||||||||
|
5 |
2 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Разложение определителя по какой-либо строке или столбцу. Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) на соответствующие алгебраические дополнения элементов этой строки (столбца) равна величине этого определителя.
Определитель 3-го порядка разложим по первой строке
a11 a12 |
a13 |
= a |
|
a22 |
a23 |
|
- a |
|
a21 a23 |
|
+ a |
|
a21 a22 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
a |
21 |
a |
22 |
a |
23 |
|
|
|
|
|
. |
|||||||
|
|
|
11 |
|
a32 |
a33 |
|
12 |
|
a31 a33 |
|
13 |
|
a31 a32 |
|
|||
a31 a32 |
a33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
7
Пример. Вычислить определитель третьего порядка
|
1 |
2 |
3 |
=1 |
|
1 |
4 |
|
4 |
4 |
|
|
4 1 |
|
= |
|||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
4 1 |
4 |
|
2 |
3 |
|
||||||||||||
|
3 |
5 |
2 |
|
|
5 |
2 |
|
3 |
2 |
|
|
3 |
5 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
=1(2 - 20) - 2(8 - 12) + 3(20 - 3) = -18 + 8 + 51 = 41. |
||||||||||||||||||
|
|
Пример. Вычислить определитель четвертого порядка |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
4 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
3 |
0 |
2 |
|
. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
4 |
3 |
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
3 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
Решение. Разложить определитель можно по любой строке (столбцу). Однако объем вычислений можно существенно уменьшить, если выбрать такую строку (столбец), в которой больше элементов, равных нулю. Наиболее подходящей в нашем случае является вторая строка. Разложение по
ней определителя имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
0A 3A 0A 2A 3( 1)4 |
|
1 |
4 |
|
7 |
|
2( 1)6 |
|
1 |
2 |
4 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 3 2 |
|
|
2 4 3 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
21 |
|
22 |
|
|
23 |
|
|
24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
3 |
1 |
|
|
|
|
|||||
= 3(1 |
|
3 |
2 |
|
4 |
|
2 |
2 |
|
7 |
|
2 3 |
|
) + 2(1 |
|
|
4 |
|
3 |
|
2 |
|
2 |
3 |
|
3 |
|
2 |
4 |
|
)= |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
1 |
|
|
|
6 |
1 |
|
|
|
6 |
1 |
|
|
|
|
3 |
|
1 |
|
|
|
6 |
1 |
|
|
|
|
|
|
6 |
3 |
|
|
|||||
=3(1 +40 - 112) + 2(-5 + 32 - 54) = 3(-71) + 2(-27) = -213 - 54 =
=.-267.
Пример. Вычислить определитель четвертого порядка. Решение. Для вычисления определителя используем сле-
дующее свойство. Величина определителя не изменится, если к элементам строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на произволь-
8
ное число.
Вычтем из элементов четвертого столбца элементы третьего и разложим полученный определитель по элементам четвертого столбца. Затем разложим определитель третьего
порядка по элементам первого столбца. Имеем |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
2 |
3 |
4 |
5 |
|
|
|
2 |
3 |
4 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
1 |
2 |
3 |
3 |
|
|
|
1 |
2 |
3 |
0 |
|
|
|
1 ( 1)1 4 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 1 |
2 |
|
||||||||||||||
|
|
0 |
1 |
2 |
2 |
|
|
0 |
1 |
2 |
0 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
|
|||||||||
|
|
0 |
0 |
1 |
1 |
|
|
|
0 |
0 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 1 |
|
|
|
1. |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 ( 1) |
|
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1.3. Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера
Одним из методов решения системы линейных алгебраических уравнений является метод, основанный на теореме Крамера. Рассмотрим его на примере системы трех уравнений с тремя неизвестными
a11x a12 y a13 z b1
a21x a22 y a23 z b2.a31x a32 y a33 y b3
a11 a12 a13
Составим определитель системы a21 a22 a23 ,
а также вспомогательные определители |
a31 |
a32 |
a33 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
b1 |
a12 a13 |
|
|
|
a11 |
b1 |
a13 |
|
|
|
a11 |
a12 |
b1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
x |
b2 |
a22 a23 |
|
|
y |
a21 |
b2 |
a23 |
|
|
z |
a21 |
a22 b2 |
|
. |
|
|
b3 |
a32 a33 |
|
, |
|
a31 |
b3 |
a33 |
|
, |
|
a31 |
a32 b3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|