Учебное пособие 1622

Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

x 1 ln x (x 1)

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

1.53 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1512 13 14 15 > Следующая >>>

Пример. Найти предел lim x 1 ln x

Решение.

0			1		1
		lim	1		x


	0
	0	x 1	x 1
				ln x
				ln x

lim

x 1 1

Пример. Найти предел lim(cos2x)

Решение.

x 0

lncos2x

lim

sin2x 2

2lim

tg2x

1 lim e x2

lim(cos2x)x2

ex 0 2x cos2x

x 0

2lim

e 2 .

x 0 2cos2 2x

Пример. Найти предел lim xtgx .

x 0

00 lim etgxln x

ln x

lim

ln x

Решение. lim xtgx

lim ectgx

ex 0ctgx

x 0

lim

x 0

sin2 x

lim

sin2

lim

2sin x cos x

e 0 1.

=ex 0 x

ex 0

110

Задачи для самостоятельного решения: [3, №№ 773 782, 784 792, 800 807, 827 830, 846 855, 4, гл. 5, №№ 1.1, 1.9, 1.10, 1.21 1.45, 1.131, 1.132, 1.138 1.142, 1.154 1.158, 1.205 1.208, 1.216, 1.221].

Задачи для самостоятельного решения

Найти производные следующих функций:

1.y 6 2x 23 x4.

4. y	a			3	x2
						.
						.
5		x	3		b
		x

7. y 2 x . 2 x

10. y sinx cosx. sinx cosx

13. y cos2 sin 3x .

16. y xe2 .

19. y 2sin2 x.


2.	y			5x5		.
2.	y			a2		.
				a2
5. y		a bx			.
5. y					.
		c dx

8.	y		1	x2			.
8.	y						.
	1			x2

11.y arctg 2x .

14.y sinx.

17.y e x2 . 2x

20. y 32x.

3.y x32 3x5 a.

6. y	2	1	.
	2x 1
		x

9. y 2sin x 3tgx.

12.		1
	y 3 1 tg x		.

		x

15. y arctg(x 1 x2 ).

18.y 2ln x.

21.y log2 ln2x.

Используя предварительное логарифмирование, найти производные следующих функций:

22.	y	(x 3)2(2x 1)	.	23. y 3	(x 2)(x 1)2					.
		(x 1)3					x5
	y x2x .						3		.
25.				26. y				x
						x
				111

24. y xsin x.

27. y (ln x)x .

Для функций, заданных параметрически, найти yx :

28.	x	2t,		y 3t2 5t,		t ( , ).
29.	x t	3 2,		y 0,5t2,		t ( , ).
		1		t	2
30.	x		,	y	.
		1 t
				t 1
31.	x 2 t,			y 22t,		t ( , ).

Найти производные второго порядка следующих функ-

ций:

32.	y cos2 x.				33.	y arctg x2.
		3				y e x2 .
34.	y log	3	1 x2	.	35.	y e x2 .
		2

Найти производные второго порядка следующих функций, заданных параметрически:


36.	x sect,	y tg t,	t 0, 2 .
37.	x arcsint,	y ln(1 t2),		t ( 1, 1).

Написать уравнение касательной и нормали к графику функций y f (x) в данной точке, если:

38.	y x2		5x 4, x		1.
				0
39.	y x3		2x2 4x 3,		x 2.
					0
40.	y			x0 4.
		x,
41.	y tg2x,			x0 0.

42. В какой точке M0 кривой y2 2x3 касательная пер-

пендикулярна к прямой 4x 3y 2 0?

43. Составить уравнение нормали к параболе y x 2 в точке пересечения с биссектрисой первого координатного угла.

112

44. Закон движения материальной точки по прямой имеет вид x 14 t4 4t3 16t2. Выяснить:

а) В какие моменты времени точка находится в начале координат?

б) В какие моменты времени направление ее движения совпадает с положительным направлением оси Ох?

в) В какие моменты времени ее ускорение равно нулю?

45.Тело массой 4 движется прямолинейно по закону

xt2 t 1. Определить кинетическую энергию тела в момент времени t = 5.

46.Радиус шара изменяется со скоростью v. С какой скоростью изменяются объем и площадь поверхности шара?

47.Доказать, что для линейной функции y ax b при-

ращение y и дифференциал dy совпадают.
48. Найти приращение y и дифференциал dy функции
y x3, соответствующие значению аргумента x	2 и двум
0
различным значениям аргумента ( x)1 0,1 и ( x)2	0,01.
49. Найти приращение S и дифференциал dS площади S

квадрата, соответствующие приращению x стороны x. С помощью рисунка геометрически истолковать S, dS и разность S dS .

Найти дифференциал указанных функций при произ-

вольных значениях аргумента х							и при произвольном его при-
ращении x dx:
50.	x	a2 x2	a2 arcsin			x	5.	51.	sin x xcosx 4.
50.	x	a2 x2	a2 arcsin			a	5.	51.	sin x xcosx 4.
						a

52.	xarctgx ln			1 x2	.			53.	xln x x 1.
54.	Вычислить приближенно: а)							arcsin0,05; б) arctg1,04;
в) ln1,2.

113

55.

Обосновать

приближенную

формулу

и вычислить по этой формуле

x x

25.

33 x2

56.

Найти приближенное значение функции

f (x) ex2 x

при

х = 1,2.

Вычислить пределы, используя правило Лопиталя:

57.

1 cos8x

58. lim

ex e x 2

.1. 59. lim

ex e

lim

x 0 x2

x 0

1 cosx

x 0

sin x

60.

lim

tgx x

. 61. lim

lntg7x

62. lim

ln x

,(n 0).

x 0 x sin x

x 0 lntg2x1

x xn

Ответы

38. 7x + y 3 = 0,

x 7y + 71 = 0.

39.

y 5 = 0,

x + 2 = 0.

40.

x 4y + 4 = 0,

4x + y 18 = 0.

41. y 2x = 0,

x + 2y = 0.

42.

43. 2x y 1=0.

44.

t 0,

;

а)

б) t (0;4) (8; ), в) t

3), t

3). 45. 242.

4 r2v;

46.

8 rv.

48.

( y)

1.261;

(dy)

1.2;

( y)2

0.120601;

(dy)2 0.12.

49.

s 2x x ( x)2;

ds 2x x.

54.

а)

0,05;

б) 0,805;

в)

0,2.

55.

2,93. 56.

1,2.

57.

32. 58. 2. 59. 2. 60. 2. 61. 1. 62. 0.

114

Типовой расчет к разделу 6

В задачах 1-4 продифференцировать данные функции.

Задача 1

1.1.	y x2		1 3						x3 4x											.								1.2.	y e3x 4			3x x3											.
	y tg		3x																										y ln2 x 3
1.3.								2x x2											.									1.4.								x2				1x .
	y tg2																												y ctg3x																		.
1.5.					x						sin x					.												1.6.										1 e3x
	y ln3x																												y tg5x 3
1.7.																		.																			x2
							x tg x																					1.8.												2x .
	y sin ln x 3																													y cos2x 3																			.
1.9.												x3									3			.				1.10.												1 23x

																						x								y 1 cos
		y 23x x3																										1.12.																								.
1.11.															.																				x							sinx 1
									sin x
		y 1 sin																												y 1 tgx 2
																																									x2										.
														x2 2x														1.14.
1.13.																											.																							x
							x
1.15.		y sin																							.					y e2x arcsin																.
					x 1								1 cosx															1.16.
																																												x
		y 1 cos2 x																										1.18.		y ctg x 4																		.
1.17.																										.													1 sin x
													arcsinx
1.19.		y tg2x																				.						1.20.		y e3x 3															.
										1 ln x																								1 tg x
1.21.		y ecosx ctg x3.																										1.22.		y sin2 3x arctg x5 .
1.23.		y tg				arctg3x4 .																						1.24.		y 4 x ln5 x 2 .
				x
1.25.		y sin4 x arctg2x3.																										1.26.		y e sinx tg7x6 .
1.27.		y 3tgx arcsin x4.																										1.28.		y cos4 3x arcsin x2.
1.29.		y sin5 3x arctg																					.					1.30.		y cos 5			arctg x4 .
																	x														x
																												115

2.1.	y		1 sin x								.
2.1.	y										.
			1 tg x
2.3.	y			tg3x								.
2.3.	y											.
			1 sin x
2.5.	y					x2 1												.
2.5.	y																	.
				sin x cosx
													.
2.7.	y			1 cosx
2.7.	y		x2					1
								1
								x2
								x2
2.9. y				sin3x						.
2.9. y										.
				2x x2
			3
2.11.		y	3		2x x2										.
2.11.		y													.
				cos 2x
2.13.		y		sin2 x 1												.

				1 sin x2
				1 sin x2
2.15.		y				tg x								.
2.15.		y												.
					x3 3x
				3
2.17.		y		3		tg x			.
2.17.		y	x3 3x						.
			x3 3x
2.19.		y					x2 1										.
2.19.		y															.
			sin x cosx

2.21.		y			3 2x x											2			.
2.21.		y						ex											.
								ex

Задача 2
2.2.	y		1			cosx									.

						2 tg x
						2 tg x

2.4.	y										x2 1							.
2.4.	y		sin x cosx															.
			sin x cosx
2.6. y			sin x 1									.
2.6. y												.
						x2 1
																			.
2.8.	y				1 arcsin x
2.8.	y		1 arccosx
			1 arccosx
			3
2.10.		y	3						sin3x					.
2.10.		y		2x x2										.
				2x x2
2.12. y											tg x		.
2.12. y				x3 3x									.
								3
2.14.		y						3		sin x				.
2.14.		y		2x x2										.
				2x x2
2.16. y						1 arcsin x														.
2.16. y																				.
							1 arccosx
				3
2.18.		y		3				1 sin x									.
2.18.		y															.
						1 tg x
																					.
2.20.		y					1 arccosx
2.20.		y
						1 arcsin x
2.22.		y									e4x					.
2.22.		y		3x 5 3												.

116

2x 5 3

2.24.

e sin2x

2.23.

etg x .

x 5 4

2.25.

e3x

e sin4x

2.26.

2x 5 6

3x2 4x 7

2.27.

y 3x 1 4 .

2.28.

y 2x 3 7 .

e4x

e 2x

ectg5x

2.29.

x3 4x 5

2.30.

3x 5 4

Задача 3

			y xln x.
3.1.	y sin x x .	3.2.	y xln x.
3.4.	y sin x x .	3.5.	y tg x x.
3.7.	y x x2 1 .	3.8.	y cosx x.

3.10. y 2 x x2 2 . 3.11. y x2 2 x 2

3.3.	y xsin x.
3.6.	y x2 1x .
3.9.	y x 1 cosx .

. 3.12. y tg x x 2 .

3.13.	y x2	1tg x .					3.14.	y x2 1 ex .
3.16.	y xarctgx .							y x		.
3.16.	y xarctgx .						3.17.	y x	x	.
	y sin x							y ctg x						.
3.19.	y sin x			x	.		3.20.	y ctg x					x	.
	1		1		x							1 x2
3.22.	y				.		3.23.	y ln3x								.
3.22.	y				.		3.23.	y ln3x								.
	x		x2
		1		e x				1				sinx
							3.26.	y							.

3.25.	y			.
3.25.	y			.
	x2 1							tg x
		lnx 1									1	x
3.28.	y 3x					.	3.29.	y cos			1			.
3.28.	y 3x					.	3.29.	y cos			x			.
											x

3.15. y arctg x x .

3.18. y x x . 3.21. y x 1 1x .

3.24. y arcsin3x x4 .

	1	1	ex

3.27. y			.
	3	4
x		x

3.30. y 1 1x x.

117

Задача 4

x 2cos2 t,

4.1.

y 3sin3t.

	1 4t	2	,
x	1 4t		,
4.4.

y arcsin2t.

	e2t
x		,
x	t 1	,
	t 1
4.7.	2t
	2t
y		.
y	t 1	.
	t 1

		2	2t,
4.2.	x sin		2t,
4.2.

y tg2t.

x 3sin2 t,

4.5.

y 2cos3t.

x cos2 t,

4.8.

y t sin2t.

x ,

4.10. 1 t2

y t ln1 t2 .

x arctg t ,

4.13.

y ln 1 t .

		t
x					,
x					,
4.16.	t 1
		2	ln1 t .
y t			ln1 t .
			t
x						,
x	1 t					,
	1 t
4.19.				1 t
				1 t
y ln				1 t			.
				1 t

4.11. x t2 1,

y ln1 t2 .

x t cos2 t,

4.14.

y t sin2 2t.

x cos2 2t,

4.17.

y sin3 2t.

x arctgt,

4.20.

y t ln1 t .

118

x t ln1 t2 ,

4.3.

y t arctgt.

x t ln cost ,

4.6.

y t ln sint .

	1	t
x				,
x		2		,
4.9.	1 t
	t
y			.
y			.
	1 t

x 2cos3t,

4.12.

y 3tg2t.

e t

t 1

4.15.

y e t .

t 1

		t
		e
x			,

	t 1
4.18.
		et
y				.

		t 1

x 3 t sin t ,

4.21.

y 4 1 cost .

		2
	1 t
x	1 t		,
x			,
	1 t
4.22.	t
	t
y		.
y	1 t	.
	1 t
	et 1

1 t

4.25.

y et 1.

1 t2

	t	3	1
x					,

	1 t
4.28.	1 t

y						.
	1 t			2

x arcsint,
4.23.	2	.

y ln1 t

x arcctg2t,

4.26.

y 1 ln1 t .

x arcsin3 t ,

4.29.

y ln 1 t .

	1 t			2
x	1 t							,
x	2							,
	t		1
4.24.			1
			1
y								.
y	t	2	1					.
	t		1
		t	cos2t,
x e			cos2t,
4.27.		t
		t	sin2t.
y e			sin2t.
					2		t,
x 4ctg							t,
4.30.						2
						2		t.
y 5cos								t.

7. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ

Литература: [2, гл. 5, §§ 2 6, 9 11; 2, раздел 4, гл. 2, §§ 2 9].

7.1. Возрастание и убывание функций

Функция y f (x) называется возрастающей (убываю-

щей) на интервале (a,b) , если для x1,x2 (a,b) из неравенст-

ва х2 х1 следует неравенство f (х2) f (x1) f (х2) f (x1) . Если же из неравенства х2 х1 следует неравенство

f (х2) f (x1) или f (х2) f (x1), то функция называется со-

ответственно неубывающей или невозрастающей на этом ин-

тервале.

Теорема (достаточной признак возрастания и убывания функции). Если во всех точках интервала (a,b) производная

119

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1512 13 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.20221.51 Mб3Учебное пособие 1618.pdf
#
30.04.20221.52 Mб2Учебное пособие 1619.pdf
#
30.04.2022308.13 Кб2Учебное пособие 162.pdf
#
30.04.20221.53 Mб2Учебное пособие 1620.pdf
#
30.04.20221.53 Mб4Учебное пособие 1621.pdf
#
30.04.20221.53 Mб1Учебное пособие 1622.pdf
#
30.04.20221.55 Mб2Учебное пособие 1623.pdf
#
30.04.20221.55 Mб5Учебное пособие 1624.pdf
#
30.04.20221.55 Mб2Учебное пособие 1625.pdf
#
30.04.20221.55 Mб2Учебное пособие 1626.pdf
#
30.04.20221.55 Mб9Учебное пособие 1627.pdf