Учебное пособие 1622

26. В треугольнике с вершинами А(1; 1;2), В(5; 6;2) и

33. Установить компланарны ли векторы a , b и c :

34.Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках

А(2;-3;5), В(0;2;1), С(-2;-2;3) и D(3;2;4).

35.В тетраэдре с вершинами в точках А(1;1;1), В(2;0;2),

С(2;2;2) и D (3; 4;-3) вычислить высоту h DE.

36. Доказать, что четыре точки А(1;2;-1), В(0;1;5), С(-1;2;1) и D(2;1;3) лежат в одной плоскости.

30

31

3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

Литература: [1, гл. 12, §§ 63-67]; [4, гл. 3, § 1].

3.1.Уравнение плоскости

Ваналитической геометрии одним из способов задания

плоскости является фиксация точки M0(x0, y0,z0) и вектора n {A,B,C}, перпендикулярного плоскости и называемого нормальным вектором.

Если M(x, y,z) - произвольная точка плоскости, то век-

торы n и M0M {x x0, y y0,z z0} перпендикулярны и их скалярное произведение равно нулю

A(x x0) B(y y0) C(z z0) 0 - (3.1) - уравнение плоскости, проходящей через заданную точку

M0(x0, y0,z0).

Обозначив Ax0 By0 Cz0 D, получим общее урав-

нение плоскости

плоскости, компланарны, а следовательно, их смешанное произведение равно нулю. Таким образом, получаем уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки

Для построения плоскости удобно использовать уравне-

32

используется тогда, когда задано расстояние от начала координат до плоскости и углы , , между нормальным вектором и осями координат Ox, Oy, Oz .

Для приведения общего уравнения плоскости (3.2) к виду (3.5) нужно обе его части умножить на величину

A2 B2 C2

причем знак нужно выбирать противоположным знаку D.

Расстояние от точки M0(x0, y0,z0) до плоскости (3.2)

определяется по формуле

Пример. Составить уравнение плоскости, параллельной оси Oy и проходящей через точки M1(2,1, 2), M2( 7, 2,1).

Решение. Поскольку искомая плоскость проходит через точку M1(2,1, 2), то используя уравнение (3.1), имеем

A(x 2) B(y 1) C(z 2) 0.

Так как искомая плоскость параллельна оси Oy , то нормальный вектор n {A,B,C} плоскости с одной стороны име-

33

ет координаты n {A,0,C}, а с другой - перпендикулярен век-

тору M1M2 { 9, 3,3}. Тогда их скалярное произведение равно нулю, следовательно 9A 3C 0; C 3A. В результа-

те A(x 2) 0(y 1) 3A(z 2) 0 или x 3z 4 0 .

Пример. Плоскость проходит через точку P(3,3,-4) и отсекает на оси абсцисс отрезок a 3, а на оси аппликат отрезок c 2. Составить уравнение плоскости.

Решение. Воспользуемся уравнением плоскости в “отрез-

Так как точка Р лежит на плоскости, то ее координаты удовлетворяют уравнению плоскости. Следовательно,

38 4 1.

3 b 2

Отсюда b 2 и искомое уравнение плоскости имеет вид

3 2 2

3.2.Взаимное расположение плоскостей

нормалей n1 и n2 ) имеет вид

A1 B1 C1 ,

A2 B2 C2

34

а условие перпендикулярности плоскостей (равенство нулю скалярного произведения нормалей n1 и n2 ) имеет вид

Задачи для самостоятельного решения: |4, №№ 915, 191, 921, 925, 927, 928, 941, 948, 958, 960, 964].

3.3. Уравнение прямой линии в пространстве

Совокупность уравнений, определяющих две непараллельные плоскости, задает общее уравнение прямой

Если задана точка M0(x0, y0,z0), принадлежащая прямой, и вектор q {l,m,n}, параллельный прямой и называемый направляющим вектором, то каноническое уравнение прямой имеет вид

Пример. Привести к каноническому виду общее уравне-

x 4y 5z 1 0, ние прямой

2x 3y z 9 0.

Решение. Найдем сначала точку, лежащую на прямой, задаваемой пересечением двух плоскостей. Положив z 0, бу-

35

Подставляя эти выражения в левую часть уравнения данной плоскости, получим (2 t) 2(3 2t) (4 t) 6 0.

36

Решая это уравнение, находим: t 1, следовательно, координаты искомой точки будут x 1, y 1, z 3.

Пусть даны канонические уравнения двух прямых

Условие принадлежности прямой плоскости

37

Пример. Найти проекцию точки P(4,3,10) на прямую

x 1 y 2 z 3 . 2 4 5

Решение. Пусть точка М - точка пересечения данной прямой с перпендикулярной к ней плоскостью, проходящей через точку P . Так как вектор q 2,4,5 - перпендикуляр к этой плоскости, тo его можно выбрать в качестве нормального вектора q n . Таким образом, уравнение искомой плоскости имеет вид

2(x 4) 4(y 3) 5(z 10) 0 или 2x 4y 5z 70 0.

Для нахождения точки пересечения прямой с плоскостью запишем уравнение прямой в параметрическом виде (3.11)

38

Задачи для самостоятельного решения

1.Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку M1(2;1; 1) и имеет нормальный вектор n 1; 2;3 .

2.Даны точки M1(3; 1;2) и M2(4; 2; 1). Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M1 перпенди-

кулярно вектору M1M2 .

3. Точка P(2; 1; 1) служит основанием перпендикуляра,

опущенного из начала координат на плоскость. Составить