Учебное пособие 1622

Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

x 3y z 2 0;

x y 3z 2 0

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

1.53 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 155 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

8.Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку M1(3; 2;-7) параллельно плоскости 2x 3z 5 0.

9.Определить двугранные углы, образованные пересечением следующих пар плоскостей:


а) 6x 3y 2z 0,			x 2y 6z 12 0;
б) x 2y 2z-3 0,			16x 12y -15z -1 0.
10.	Найти	отрезки,		отсекаемые	плоскостью
3x 4y 24z 12 0 на координатных осях.
11.	Вычислить площадь треугольника, который отсекает

плоскость 5x 6y 3z 120 0 от координатного угла XOY .

12.	Плоскость	проходит через точки	M1(1;2; 1) и
M2( 3;2;1) и отсекает на оси ординат отрезок			b 3. Соста-
вить для этой плоскости уравнение “в отрезках”.
13.	Составить уравнения плоскостей, которые проходят
через точку M1(4;3;2)		и отсекают на координатных осях от-
личные от нуля отрезки одинаковой длины.
14.	Заданы плоскость Р и точка М. Написать уравнение

плоскости Р , проходящей через точку М параллельно плос-


кости Р, и вычислить расстояние (P, P ), если:
а)	P:	2x y z 1 0,		M(1;1;1);
б)	P:	x y 1 0,	M(1;1;2).
15.	Вычислить расстояние			d	от точки	P( 1;1; 2) до
плоскости,		проходящей	через		точки	M1(1;-1;1),
M2( 2;1;3),		M3(4;-5;-2).

16.На оси OZ найти точку, равноудаленную от точки

M(1; 2;0) и от плоскости 3x 2y 6z 9 0.

17.Написать канонические уравнения прямой, проходящей через точку M0(2;0; 3) параллельно:

а) вектору	q	{2; 3;5};	б) прямой	x 1		y 2	z 1	;

			5		2		1
			40

в) оси Ох; г) оси Оz;		д) прямой			3x y 2z 7 0,

			t		x 3y 2z 3 0;
е) прямой x 2 t,	y 2t,	z 1		.

		2

18. Написать канонические уравнения прямой, проходящей через две заданные точки М1 , М2 , если:

а) М1(1; 2;1),

М2(3;1; 1);

б) М1(3; 1;0),

М2(1;0; 3).

19. Прямая L задана общим уравнением. Написать для этой прямой канонические уравнения, если:

а)	x 2y 3z 2 0,	б)	5x y z 0;
	L:		L:
20.	3x 2y 5z 4 0;		2x 3y 2z 5 0.
	Составить параметрические уравнения следующих
прямых:
а)	2x 3y z 6 0,	б)	x 2y z 6 0,

21.	3x 5y 2z 1 0;		2x y z 1 0.
	Доказать параллельность прямых:

x y z 0,

x y 5z 8 0;

x 2t 5,

иy t 2,z t 7.

22.

Доказать перпендикулярность прямых:

а)

y 1

3x y 5z 1 0,

2 3

2x 3y 8z 3 0;

б)

x y 3z 1 0,

2x y 2z 5 0,

2x y 9z 2 0

2x 2y z 2 0.

23.

Определить косинус угла между прямыми:

а)

x 3

y 2

x 2

y 3

;

б)

x y 4z 5 0,

x 6y 6z 2 0,

2x y 2z 4 0

2x 2y 9z 1 0.

24.

Доказать, что прямые

2x 2y z 10 0,

и L

x 7

y 5

z 9

1 x y z 22 0

параллельны и найти расстояние (L1,L2).

x 3t 2,

25.

Доказать,

что

прямая

y 4t 1,

параллельна

z 4t 5

плоскости 4x 3y 6z 5 0.

26.

Доказать,

что прямая

5x 3y 2z 5 0,

лежит в

плоскости 4x 3y 7z 7 0.

2x y z 1 0

27.

Найти точку пересечения прямой и плоскости:

а)

x 1

y 1

2x 3y z 1 0;

б)

x 3

y 2

z 1

x 2y z 15 0;

в)

x 2

y 1

z 3

x 2y 2z 6 0.

28.

Составить уравнение прямой, проходящей через точ-

ку

M0(2; 3; 5)

перпендикулярно

плоскости

6x 3y 5z 2 0.

29.

Составить уравнение плоскости, проходящей через

точку

M0(1; 2;1)

перпендикулярно

прямой

x 2y z 3 0,

x y z 2 0.

30.	При каком значении C прямая				3x 2y z 3 0,
30.	При каком значении C прямая
					4x 3y 4z 1 0
параллельна плоскости			2x y Cz 2 0.
31.	При	каких	значениях	A	и	B		плоскость
						x 2t 3,
Ax By 3z 5 0 перпендикулярна прямой
Ax By 3z 5 0 перпендикулярна прямой						y 3t 5,

						z 2t 2.
32.	Найти точку Q, симметричную точке						P(4;1;6) отно-
сительно прямой		x y 4z 12 0,
сительно прямой
		2x y 2z 3 0.
33.	Найти точку Q, симметричную точке P(2; 5;7) от-
носительно прямой, проходящей через					точки		M1(5;4;6) и
M2( 2; 17; 8).				P(5;2; 1)
34.	Найти	проекцию точки		P(5;2; 1)			на	плоскость

2x y 3z 23 0.

35. Найти точку Q, симметричную точке P(1;3; 4) отно-

сительно плоскости

3x y 2z 0.

36. Вычислить расстояние d

от точки P(2;3; 1) до сле-

дующих прямых:

x 5

z 25

x t 1,

а)

;

б)

y t 2,

z 4t 13;

в)

2x 2y z 3 0,

3x 2y 2z 17 0.

37. Составить уравнение плоскости, проходящей через

точку M1(1;2; 3) параллельно прямым:

x 1

y 1

z 7

x 5

y 2

z 3

38. Доказать, что прямые	x 1	y 2	z 5	и
	2		4
		3

x 3t 7,

y 2t 2, лежат в одной плоскости и составить уравнение

z 2t 1

этой плоскости.

	Ответы
1. x 2y 3z 3 0. 2.	x y 3z 2 0. 3.	2x y z 6 0.
4. а) x 2y z 0; б) x y 2z 5 0. 5.		а) x y 3 0;

б) x 2y 2 0. 6. а) x 2y 3z 3 0; б) 2x 2y z 1 0.

7. а) x y 3 0; б) 2x y 1 0. 8. 2x 3z 27 0. 9. а)																			;
7. а) x y 3 0; б) 2x y 1 0. 8. 2x 3z 27 0. 9. а)																		2	;
			2								2					1		2
б)	arccos		2		и arccos						2	. 10. a 4,		b 3,	c	1	. 11. 240.
	15									15					2
12.		x			y		2z		1.	13.			x y z 9 0,		x y z 1 0,
12.									1.	13.			x y z 9 0,		x y z 1 0,
		3		3			3											1
x y z 3 0,								x y z 5 0. 14.						а) 2x y 2 0;				1		;
																				;
																		6
						1												6
б)	x y 0;					1		. 15.		d 4.			16. Условию задачи удовлетво-
								. 15.		d 4.			16. Условию задачи удовлетво-

							2

ряют точки (0;0; 2)												0;0;				82			. 17.									x 2					y
										и														а)
										и														а)					2				3
																13													2				3
б)	x 2			y		z 3		; в)					x 2					y				z 3			; г)					x 2
б)	5							; в)																	; г)
	5		2			1							1			0			0												0
д)		x 2			y		z 3		; е)					x 2						y			z 3					.
		4	8			10							1						2				1/2
18.		а)	x 1				y 2				z 1				;		б)				x 3					y 1						z		.
18.		а)	2												;		б)																	.
			2			3						2									2						1					3
																44

z 3; 5

y z 3; 0 1

19.

а)

x 3/2

y 1/4

;

б)

y 1

z 1

x t 1,

20.

а)

y 7t,

б)

y 3t 2,

21. а) cos 60 ;

z 19t

z 5t 1.

б)

cos

24. 25.

27. а) (2;-3;6); б)

прямая парал-

лельна плоскости; в) прямая лежит в плоскости.

28.

x 2

y 3

z 5

29. x 2y 3z 0. 30.

C 2.

31.

A 3, B

. 32. Q(2; 3;2). 33.

Q(4;1; 3). 34. (1;4;-7).

35.

Q( 5;1;0). 36. а) 21;

б) 6;

в) 15.

37.

9x 11y 5z 16 0.

Типовые расчеты к разделам 2-3

Задача 1

Написать разложение вектора x по векторам p , q , r .

1.1.x ={-2;4;7}, p ={0;1;2}, q ={1;0;1}, r ={-1;2;4}.

1.2.x ={6;12;-1}, p ={1;3;0}, q ={2;-0;1}, r ={0;-1;2}.

1.3.x ={1;-4;4}, p ={2;1;-1}, q ={0;3;2}, r ={1;-1;1}.

1.4.x ={-9;5;5}, p ={4;1;1}, q ={2;0;-3}, r ={-1;2;1}.

1.5.x ={-5;-5;5}, p ={-2;0;1}, q ={1;3;-1}, r ={0;4;1}.

1.6.x ={13;2;7}, p ={5;1;0}, q ={2;-1;3}, r ={1;0;-1}.

1.7.x ={-19;-1;7}, p ={0;1;1}, q ={-2;0;1}, r ={3;1;0}.

1.8.x ={3;-3;4}, p ={1;0;2}, q ={0;1;1}, r ={2;-1;4}.

1.9.x ={3;3;-1}, p ={3;1;0}, q ={-1;2;1}, r ={-1;0;2}.

1.10.x ={-1;7;-4}, p ={-1;2;1}, q ={2;0;3}, r ={1;1;-1}.

1.11.x ={6;5;-14}, p ={1;1;4}, q ={0;-3;2}, r ={2;1;-1}.

1.12.x ={6;-1;7}, p ={1;-2;0}, q ={-1;1;3}, r ={1;0;4}.

1.13.x ={5;15;0}, p ={1;0;5}, q ={-1;3;2}, r ={0;-1;1}.

1.14.x ={2;-1;11}, p ={1;1;0}, q ={0;1;-2}, r ={1;0;3}.

1.15.x ={11;5;-3}, p ={1;0;2}, q ={-1;0;1}, r ={2;5;-3}.

1.16.x ={8;0;5}, p ={2;0;1}, q ={1;1;0}, r ={2;5;-3}.

1.17.x ={3;1;8}, p ={0;1;3}, q ={1;2;-1}, r ={2;0;-1}.

1.18.x ={8;1;12}, p ={1;2;-1}, q ={3;0;2}, r ={-1;1;1}.

1.19.x ={-9;-8;-3}, p ={1;2;-1}, q ={3;0;2}, r ={-1;1;1}.

1.20.x ={-5;9;-13}, p ={0;1;-2}, q ={3;-1;1}, r ={4;1;0}.

1.21.x ={-15;5;6}, p ={0;5;1}, q ={3;2;-1}, r ={-1;1;0}.

1.22.x ={8;9;4}, p ={1;0;1}, q ={0;-2;1}, r ={1;3;0}.

1.23.x ={23;-14;-30}, p ={2;1;0}, q ={1;-1;0}, r ={-3;2;5}.

1.24.x ={3;1;3}, p ={2;1;0}, q ={1;0;1}, r ={4;2;1}.

1.25.x ={-1;7;0}, p ={0;3;1}, q ={1;-1;2}, r ={2;-1;0}.

1.26.x ={11;-1;4}, p ={1;-1;2}, q ={3;2;0}, r ={-1;1;1}.

1.27.x ={-13;2;18}, p ={1;1;4}, q ={-3;0;2}, r ={1;2;-1}.

1.28.x ={0;-8;9}, p ={0;-2;1}, q ={3;1;-1}, r ={4;0;1}.

1.29.x ={8;-7;13}, p ={0;1;5}, q ={3;-1;2}, r ={-1;0;1}.

1.30.x ={2;7;5}, p ={1;0;1}, q ={1;-2;0}, r ={0;3;1}.

Задача 2

Коллинеарны ли векторы c1 и c2, построенные по векто-

рам a и b ?

2.1.a ={1;-2;3}, b ={3;0;-1}, c1=2a +4b , c2=3b -a .

2.2.a ={1;0;1}, b ={-2;3;5}, c1=a +2b , c2=3a -b .

2.3.a ={-2;4;1}, b ={1;-2;7}, c1=5a +3b , c2=2a -b .

2.4.a ={1;2;-3}, b ={2;-1;-1}, c1=4a +3b , c2=8a -b .

2.5.a ={3;5;4}, b ={5;9;7}, c1=-2a +b , c2=3a -2b .

2.6.a ={1;4;-2}, b ={1;1;-1}, c1=a +b , c2=4a +2b .

2.7.a ={1;-2;5}, b ={3;-1;0}, c1=4a -2b , c2=b -2a .

2.8.a ={3;4;-1}, b ={2;-1;1}, c1=6a -3b , c2=b -2a .

2.9.a ={-2;-3;-2}, b ={1;0;5}, c1=3a +9b , c2=-a -3b .

2.10.a ={-1;4;2}, b ={3;-2;6}, c1=2a -b , c2=3b -6a .

2.11.a ={5;0;-1}, b ={7;2;3}, c1=2a -b , c2=3b -6a .

2.12.a ={0;3;-2}, b ={1;-2;1}, c1=5a -2b , c2=3a +5b .

2.13.a ={-2;7;-1}, b ={-3;5;2}, c1=2a +3b , c2=3a +2b .

2.14.a ={3;7;0}, b ={1;-3;4}, c1=4a -2b , c2=b -2a .

2.15.a ={-1;2;-1}, b ={2;-7;1}, c1=6a -2b , c2=b -3a .

2.16.a ={7;9;-2}, b ={5;4;3}, c1=4a -b , c2=4b -a .

2.17.a ={5;0;-2}, b ={6;4;3}, c1=5a -3b , c2=6b -10a .

2.18.a ={8;3;-1}, b ={4;1;3}, c1=2a -b , c2=2b -4a .

2.19.a ={3;-1;6}, b ={5;7;10}, c1=4a -2b , c2=b -2a .

2.20.a ={1;-2;4}, b ={7;3;5}, c1=6a -3b , c2=b -2a .

2.21. a ={3;7;0}, b ={4;6;-1}, c1=3a +2b , c2=5a -7b .

2.22.a ={2;-1;4}, b ={3;-7;-6}, c1=2a -3b , c2=3a -2b .

2.23.a ={5;-1;-2}, b ={6;0;7}, c1=3a -2b , c2=4b -6a .

2.24.a ={-9;5;3}, b ={7;1;-2}, c1=2a -b , c2=3a +5b .

2.25.a ={4;2;9}, b ={0;-1;3}, c1=4b -3a , c2=4a -3b .

2.26.a ={2;-1;6}, b ={-1;3;8}, c1=5a -2b , c2=2a -5b .

2.27.a ={5;0;8}, b ={-3;1;7}, c1=3a -4b , c2=12b -9a .

2.28.a ={-1;3;4}, b ={2;-1;0}, c1=6a -2b , c2=b -3a .

2.29.a ={4;2;-7}, b ={5;0;-3}, c1=a -3b , c2 =6b -2a .

2.30.a ={2;0;-5}, b ={1;-3;4}, c1=2a -5b , c2 =5a -2b .

Задача 3

Найти косинус угла между векторами AB и AC .

3.1.A(1;-2;3), B(0;-1;2), C(3;-4;5).

3.2.A(0;-3;6), B(-12;-3;-3), C(-9;-3;-6).

3.3.A(3;3;-1), B(5;5;-2), C(4;1;1).

3.4.A(-1;2;-3), B(3;4;-6), C(1;1;-1).

3.5.A(-4;-2;0), B(-1;-2;4), C(3;-2;1).

3.6.A(5;3;-1), B(5;2;0), C(6;4;-1).

3.7.A(-3;-7;-5), B(0;-1;-2), C(2;3;0).

3.8.A(2;-4;6), B(0;-2;4), C(6;-8;10).

3.9.A(0;1;-2), B(3;1;2), C(4;1;1).

3.10.A(3;3;-1), B(1;5;-2), C(4;1;1).

3.11.A(2;1;-1), B(6;-1;-4), C(4;2;1).

3.12.A(-1;-2;1), B(-4;-2;5), C(-8;-2;2).

3.13.A(6;2;-3), B(6;3;-2), C(7;3;-3).

3.14.A(0;0;4), B(-3;-6;1), C(-5;-10;-1).

3.15.A(2;-8;-1), B(4;-6;0), C(-2;-5;-1).

3.16.A(3;-6;9), B(0;-3;6), C(9;-12;15).

3.17.A(0;2;-4), B(8;2;2), C(6;2;4).

3.18.A(3;3;-1), B(5;1;-2), C(4;1;1).

3.19.A(-4;3;0), B(0;1;3), C(-2;4;-2).

3.20.A(1;-1;0), B(-2;-1;4), C(8;-1;-1).

3.21.A(7;0;2), B(7;1;3), C(8;-1;2).

3.22.A(2;3;2), B(-1;-3;-1), C(-3;-7;-3).

3.23.A(2;2;7), B(0;0;6), C(-2;5;7).

3.24.A(-1;2;-3), B(0;1;-2), C(-3;4;-5).

3.25.A(0;3;-6), B(9;3;6), C(12;3;3).

3.26.A(3;3;-1), B(5;1;-2), C(4;1;-3).

3.27.A(-2;1;1), B(2;3;-2), C(0;0;3).

3.28.A(1;4;-1), B(-2;4;-5), C(8;4;0).

3.29.A(0;1;0), B(0;2;1), C(1;2;0).

3.30.A(-4;0;4), B(-1;6;7), C(1;10;9).

Задача 4

Вычислить площадь параллелограмма, построенного на

векторах a и b .

4.1. a = p +2q , b =3 p -q ; p =1, q =2, (p^q)= . 6

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 155 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.20221.51 Mб3Учебное пособие 1618.pdf
#
30.04.20221.52 Mб2Учебное пособие 1619.pdf
#
30.04.2022308.13 Кб2Учебное пособие 162.pdf
#
30.04.20221.53 Mб2Учебное пособие 1620.pdf
#
30.04.20221.53 Mб4Учебное пособие 1621.pdf
#
30.04.20221.53 Mб1Учебное пособие 1622.pdf
#
30.04.20221.55 Mб2Учебное пособие 1623.pdf
#
30.04.20221.55 Mб5Учебное пособие 1624.pdf
#
30.04.20221.55 Mб2Учебное пособие 1625.pdf
#
30.04.20221.55 Mб2Учебное пособие 1626.pdf
#
30.04.20221.55 Mб9Учебное пособие 1627.pdf