Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебное пособие 1622

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

1.53 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 157 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

11.6. A(	1			;			1		;1),			α: 2x 3y 3z 2 0,			k 1,5.
11.6. A(				;			3		;1),			α: 2x 3y 3z 2 0,			k 1,5.
2							3				α: x 3y 5z 1 0,
11.7. A(2;0;-1),											α: x 3y 5z 1 0,		k 1.
11.8. A(1;-2;1),											α: 5x y z 6 0,		k			2				.
11.8. A(1;-2;1),											α: 5x y z 6 0,		k							.
															3
11.9. A(2;-5;4),											α: 5x 2y z 3 0,		k				4					.
11.9. A(2;-5;4),											α: 5x 2y z 3 0,		k									.
															3
11.10. A(2;-3;1),											α: x y 2z 2 0,			k					5						.
11.10. A(2;-3;1),											α: x y 2z 2 0,			k											.
															2											3
11.11. A(-2;3;-3),												α: 3x 2y z 2 0,			k											3				.
11.11. A(-2;3;-3),												α: 3x 2y z 2 0,			k															.
		1						1							2																			1
11.12. A(		1				;		1		;1),		α: 4x 3y 5z 10 0, k																						1			.
4							3								2
11.13. A(0;1;-1),											α: 6x 5y 3z 4 0,				k																3				.
11.13. A(0;1;-1),											α: 6x 5y 3z 4 0,				k																				.
															4
11.14. A(2;3;-2),											α: 3x 2y 4z 6 0,					k																	4			.
11.14. A(2;3;-2),											α: 3x 2y 4z 6 0,					k																				.
															3
11.15. A(-2;-1;1),												α: x 2y 6z 10 0,				k													3			.
11.15. A(-2;-1;1),												α: x 2y 6z 10 0,				k																.
11.16. A(5;0;-1),											α: 2x y 3z 1 0,				5
11.16. A(5;0;-1),											α: 2x y 3z 1 0,			k 3.
11.17. A(1;1;1),											α: 7x 6y z 5 0,			k 2.
11.18. A(			1		;1;1),							α: 3x y 5z 6 0,		k							5						.
3															6
11.19. A(2;5;1),											α: 5x 2y z 3 0,			k				1						.
11.19. A(2;5;1),											α: 5x 2y z 3 0,			k										.
															3
11.20. A(-1;2;3),											α: x 3y z 2 0,			k 2,5.
11.21. A(4;3;1),											α: 3x 4y 5z 6 0,			k									5					.
11.21. A(4;3;1),											α: 3x 4y 5z 6 0,			k														.
															6
												60

11.22. A(3;5;2),

α: 5x 3y z 4 0,

11.23. A(4;0;-3),

α: 7x y 3z 1 0,

k 3.

11.24. A(-1;1;-2),

α: 4x y 3z 6 0,

11.25. A(2;-5;-1),

α: 5x 2y 3z 9 0,

11.26. A(-3;-2;4),

α: 2x 3y z 5 0,

11.27. A(5;0;-6),

α: 6x y z 7 0,

11.28. A(1;2;2),

α: 3x z 5 0, k

11.29. A(3;2;4),

α: 2x 3y z 6 0,

11.30. A(7;0;-1),

α: x y z 1 0, k 4.

Задача 12

Написать каноническое уравнение прямой.

12.1.

2x y z 2 0,

2x y 3z 6 0.

12.2.

x 3y 2z 2 0,

x 3y z 14 0.

12.3.

x 2y z 4 0,

2x 2y z 8 0.

12.4.

x y z 2 0, x y 2z 2 0.

12.5.

2x 3y z 6 0,

x 3y 2z 3 0.

12.6.

x y z 6 0, 3x y 2z 0.

12.7.

x 5y 2z 11 0,

x y z 1 0.

12.8.

3x 4y 2z 1 0,

2x 4y 3z 4 0.

12.9.

5x y 3z 4 0,

x y 2z 2 0.

12.10.

x y z 2 0,

x 2y z 4 0.

12.11.	x y 3z 2 0,	2x y z 8 02.
12.12.	3x 3y 2z 1 0,		2x 3y z 6 0.
12.13.	6x 7y 4z 2 0,		x 7y z 5 0.
12.14.	6x 7y 2z 2 0,		x 7y z 5 0.
12.15.	8x y 3z 1 0,	x y z 10 0.
12.16.	6x 5y 4z 8 0,		6x 5y 3z 4 0.
12.17.	x 5y z 5 0,	2x 5y 2z 5 0.
12.18.	x 3y z 6 0,	x 3y 2z 3 0.
12.19.	5x y 2z 4 0,		x y 3z 2 0.
12.20.	4x y z 2 0,	2x y 3z 8 0.
12.21.	2x y 3z 2 0,		2x y z 6 0 .
12.22.	x 5y z 11 0,		x y 2z 1 0.
12.23.	x y z 2 0, x 2y z 4 0.
12.24.	6x 7y z 2 0,		x 7y 4z 5 0.
12.25.	x y 2z 5 0,	2x 5y z 5 0.
12.26.	x 3y z 2 0,	x 3y 2z 14 0.
12.27.	x 3y 2z 6 0,		3x 3y z 3 0.
12.28.	3x 4y 3z 1 0,		2x 4y 2z 4 0.
12.29.	3x 3y z 1 0,	2x 3y 2z 6 0.
12.30.	6x 5y 3z 8 0,		6x 5y 4z 4 0.

Задача 13

Найти точку пересечения прямой и плоскости.

13.1.	x 2		y 3			z 1		,	x 2y 3z 14 0.
			1
	1			4
13.2.	x 1	y 3			z 1		,		x 2y 5z 20 0.
	3
			4	5
									62

13.3.		x 1						y 5									z 1											,						x 3y 7z 24 0.
13.3.								4																				,						x 3y 7z 24 0.
		1						4			2
13.4.	x 1					y				z 3											, 2x y 4z 0.
13.4.	1																				, 2x y 4z 0.
	1		0					2
13.5.	x 5						y 3							z 2												,								3x y 5z 12 0.
13.5.	1																									,								3x y 5z 12 0.
	1							1			0
13.6.	x 1				y 2								z 3										,											x 3y 5z 9 0.
13.6.																							,											x 3y 5z 9 0.
	3							2							2
13.7.	x 1			y 2								z 1										, x 2y 5z 17 0.
13.7.																						, x 2y 5z 17 0.
	2							1							1
13.8.	x 1			y 2								z 4												,										x 2y 4z 19 0.
13.8.																								,										x 2y 4z 19 0.
	2							0			1
13.9.	x 2						y 1					z 4													,									2x y 3z 23 0.
13.9.																									,									2x y 3z 23 0.
		1						1								1
13.10.		x 2							y 2												z 3											,		2x 3y 5z 7 0.
13.10.	1							0																								,		2x 3y 5z 7 0.
	1							0			0
13.11.		x 1						y 1							z 2														,					4x 2y z 11 0.
13.11.																													,					4x 2y z 11 0.
	2								1		3
13.12.		x 1						y 1							z 1												,							3x 2y 4z 8 0.
13.12.																											,							3x 2y 4z 8 0.
	1							0													1
13.13.		x 2							y 1										z 3											,				x 2y z 2 0.
13.13.		1																												,				x 2y z 2 0.
		1						1			2
13.14.		x 3							y 2											z 2												,		5x y 4z 3 0.
13.14.																																,		5x y 4z 3 0.
	1								5		3
13.15.		x 2							y 2											z 4													,	x 3y 5z 42 0.
13.15.	2								1																								,	x 3y 5z 42 0.
	2								1		3
13.16.		x 3							y 4									z 4													,			7x y 4z 47 07.
13.16.								5																							,			7x y 4z 47 07.
		1						5			2

13.17.x 3 y 1 z 1, 2x 3y 7z 52 0. 2 3 5

13.18.	x 3			y 1				z 3				,							3x 4y 7z 16 0.
	2	3
						2
13.19.	x 5			y 2						z 4								,	2x 5y 4z 24 0.
		0
	2										1
13.20.	x 1		y 8					z 5					,						x 2y 3z 18 0.
	8
				5		12
13.21.	x 3			y 1				z 5					,						x 7y 3z 11 0.
	1
				1		0
13.22.	x 5			y 3					z 1				,						3x 7y 5z 11 0.
		5
	1					2
13.23.	x 1		y 2					z 6							,				4x y 6z 5 0.
	7	1
											1
13.24.	x 3			y 2						z 8						,			5x 9y 4z 25 0.
				1
	1					0
13.25.	x 1		y		z 1						,	x 4y 13z 23 0.
		0
	2					3
13.26.	x 1		y 3					z 5					,						3x 2y 5z 3 0.

	6	1				3
13.27.	x 2			y 1				z 3						,					3x y 4z 03.

	4			3						2
13.28.	x 1		y 2						z 3					,					x 2y 5z 16 0.
	2
				5						2
13.29.	x 1		y 3				z 2							,					3x 7y 2z 7 0.
	1
		0								2
13.30.	x 3			y 2					z 5								,		6x 7y 9z 32 0.

	0			3		11

Задача 14

Найти точку M , симметричную точке M относительно прямой (для вариантов 1-15) или плоскости (для вариантов 1630).

14.1. M(0;-3;-2),	x 1	y 1,5		z	.
		1
1			1

14.2. M(2;-1;1), x 4,5 y 3 z 2.

0,5

14.3. M(1;1;1), x 2 y 1,5 z 1.

		1								2											1
14.4. M(1;2;3),	x 0,5									y 1,5												z 1,5									.
14.4. M(1;2;3),		0																													.
		0											1								1
14.5. M(1;0;-1),		x 3,5									y 1,5												z			.
14.5. M(1;0;-1),		2																								.
		2							2												0
14.6. M(2;1;0),	x 2						y 1,5												z 0,5											.
14.6. M(2;1;0),																														.
		0								1											1
14.7. M(-2;-3;0),			x 0,5											y 1,5											z 0,5									.
14.7. M(-2;-3;0),		1																																.
		1							0												1
14.8. M(-1;0;-1),				x		y 1,5												z 0,5											.
14.8. M(-1;0;-1),																													.
			1						0												1
14.9. M(0;2;1),	x 1,5									y							z 2						.
14.9. M(0;2;1),																							.
		2							1							1
14.10. M(3;-3;-1),					x 6							y 3,5												z 0,5									.
14.10. M(3;-3;-1),																																	.
		5							4												0
14.11. M(3;3;3),		x 1						y 1,5												z 3								.
14.11. M(3;3;3),																												.
				1					0												1
14.12. M(-1;2;0),				x 0,5										y 0,7													z 2					.
14.12. M(-1;2;0),		1																														.
		1													0,2						2

14.13.M(2;-2;-3), x 1 y 0,5 z 1,5 .

1 0 0

14.14. M(-1;0;1), x 0,5 y 1 z 4 . 0 0 2

14.15. M(0;-3;-2), x 0,5 y 1,5 z 1,5. 0 1 1

14.16.M(1;0;1), 4x 6y 4z 25 0.

14.17.M(-1;0;-1), 2x 6y 2z 11 0.

14.18.M(0;2;1), 2x 4y 3 0.

14.19.M(2;1;0), y z 2 0.

14.20.M(-1;2;0), 4x 5y z 7 0.

14.21.M(2;-1;1), x y 2z 2 0.

14.22.M(1;1;1), x 4y 3z 5 0.

14.23.M(1;2;3), 2x 10y 10z 1 0.

14.24.M(0;-3;-2), 2x 10y 10z 1 0.

14.25.M(1;0;-1), 2y 4z 1 0.

14.26.M(3;-3;-1), 2x 4y 4z 13 0.

14.27.M(-2;-3;0), x 5y 4 0.

14.28.M(2;-2;-3), y z 2 0.

14.29.M(-1;0;1), x 4y 3 0.

14.30.M(3;3;3), 8x 6y 8z 25 0.

4. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

Литература: [1, гл.4, §§ 16 - 22; гл.5, §§ 24, 25, 30, 35, 36], [3, гл.1, §§2 - 4].

4.1. Уравнение прямой на плоскости

Уравнение прямой, проходящей через данную точку

плоскости M0(x0, y0)		с		заданным нормальным			вектором
n {A,B}, также лежащим на этой плоскости, имеет вид
A(x x0) B(y y0) 0.							(4.1)
Общее уравнение примой на плоскости
	Ax By C 0.						(4.2)
Каноническое уравнение прямой
	x x0				y y0	,	(4.3)
	l				m

где M0(x0, y0) - точка,			лежащая на прямой, q {l,m}- на-

правляющий вектор прямой (вектор, параллельный прямой). Уравнение прямой, проходящей через данную точку и

имеющей угловой коэффициент k
y y0 k(x x0).	(4.4)
Уравнение прямой с угловым коэффициентом
y kx b ,	(4.5)
где k tg , - угол наклона прямой к оси Ox ;	b y0 kx0 -
отрезок, отсекаемый прямой на оси Oy .
Угол между двумя прямыми y k1x b1 и	y k2x b2 ,
вычисляется по формуле

tg	k2 k1	,	(4.6)

1 k1k2

При задании уравнения прямой в виде (4.1) - (4.3) углы между прямыми находятся по формулам (3.7) и (3.12) при C 0 и n 0, соответственно.

Условие параллельности прямых: k1 k2 .

Условие перпендикулярности прямых: k2 1 . k1

Пример. Составить уравнения прямых, проходящих через точку P(1, 2) и лежащих параллельно и перпендикулярно прямой 2x 3y 3 0.

Решение. Уравнение прямой, параллельной данной, в соответствии с (4.1), ищем в виде A(x 1) B(y 2) 0.

Из условия параллельности прямых по формулам (3.9)

имеем 2(x 1) 3(y 2) 0.

Уравнение прямой, параллельной заданной, ищем из (4.3)

x 1 y 2 . l m

Так как прямые перпендикулярны, то направляющий вектор q {l,m} искомой прямой коллинеарен нормальному

вектору n 2,3 заданной прямой. Имеем x 1 y 2 . 2 3

Для решения задачи можно воспользоваться уравнением прямой с угловым коэффициентом. Преобразуем уравнение

заданной прямой y 2 x 1. Угловой коэффициент k 2 . 3 3

Тогда для двух параллельных прямых	k k					2	. Для пря-
			2
	1				3
		1		3
мой перпендикулярной данной k2					. По формуле
		k1
			2

(4.4) уравнения искомых прямых будут иметь вид y 2 x 8 3 3

и y 3 x 1 . 2 2

Пример. Дан треугольник с вершинами A( 1,1) , B(1,5), C(3, 2). Найти уравнения его сторон.

Решение. Уравнения сторон треугольника ищем в виде (4.3). Направляющие векторы сторон строим по двум заданным точкам.

Для стороны AC: q 4, 3 ,		x 3				y 2		,			3x 4y 1	0.

	4					3
Для стороны АВ: q 2,4 ,	x 1			y 5			,			2x y 3 0.
	2
					4
Для стороны BC: q 2, 7 ,			x 3			y 2			,		7x 2y 17	0.

	2					7

Задачи для самостоятельного решения: [4, №№ 215, 217, 233, 226, 234, 245, 266, 299, 310, 315].

4.2. Кривые второго порядка: эллипс (окружность), гипербола, парабола

В прямоугольной системе координат, в плоскости Oxy уравнение второй степени

Ах2 + 2Вху +Су2 +2Dх + 2Еу +F = 0

определяет кривую второго порядка, где А, В, С, D, E, F заданные действительные числа. При этом А,В,С одновременно не равны нулю.

Общее уравнение с помощью преобразований прямоугольной системы координат приводится к одному из канонических уравнений: эллипса, гиперболы, параболы.

Рассмотрим каждую из них.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 157 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.20221.51 Mб3Учебное пособие 1618.pdf
#
30.04.20221.52 Mб2Учебное пособие 1619.pdf
#
30.04.2022308.13 Кб2Учебное пособие 162.pdf
#
30.04.20221.53 Mб2Учебное пособие 1620.pdf
#
30.04.20221.53 Mб4Учебное пособие 1621.pdf
#
30.04.20221.53 Mб1Учебное пособие 1622.pdf
#
30.04.20221.55 Mб2Учебное пособие 1623.pdf
#
30.04.20221.55 Mб5Учебное пособие 1624.pdf
#
30.04.20221.55 Mб2Учебное пособие 1625.pdf
#
30.04.20221.55 Mб2Учебное пособие 1626.pdf
#
30.04.20221.55 Mб9Учебное пособие 1627.pdf