Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебное пособие 1622

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

1.53 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 153 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

												2	2 0						5	0 2
a) f (A) A2				3A 5E ,						A		1	1 1							5 1
a) f (A) A2				3A 5E ,						A		1	1 1		, f (A) 1					5 1			;



												1	0 3						2	2 5
b) f (A) A2												2	1						0	0
b) f (A) A2				5A 3E ,						A 3				3	,	f (A) 0				0	.

4. Вычислить AB BA, если:
	1 2			1				4			1 1						10 4			7
a) A						,B
													, AB BA					6 14		4			;
	2 1			2				4			2 0		, AB BA					6 14		4			;
									1									7 5
	1 2			3					1		2 1							7 5		4
	2 1				0				3			1	2						0	0 0
a) A							B			3	2		4
a) A	1 1				2 ,		B			3	2		4	; AB BA 0						0 0			.

	1 2				1				3 5				1						0	0 0
5. Вычислить произведение трех матриц
	0		0	1		1		1									1
						1		1			4
а)	1 1			2			2		2		4						3
а)		2 2 3					2		2		,					5		5	;
		2 2 3					1		1		1							5
			3				1		1
	3		3	4													7
	1 2			1 2				3 1 1					2 1				1		9	15
b)																				9
b)	0 1			2		1 1					0	0	1 2 ,				5 5			9		;
							1
	3 1			1			1	2 1 3					1 1			12 26				32

5 0		2	3	6		56
5 0		2	3	2		56
	1	5		2	;
c) 4	1	5	3	7	;	69 .
	1	1		7
3	1	1	2	4		17
				4

		6.		Найти обратную матрицу.
					4 0			5									4				0 5
		а) A								,				1							1 24
		а) A			0 1			6		,		A					18				1 24		;
								4										3			0 24

					3 0
					3 1			2										1	11			3		5
															1			1
		b) A				4 2			1		,		A							17 21			11			;
		b) A				4 2			1		,		A					36		17 21			11			;
																		36
							1		5															2
					3		1		5										10 6					2
					0 1			0										0			0 1
		c) A							,						1
		c) A			0 0			1	,				A					1			0 0	.

					1 0			0										0			1 0
		7.	Решить матричные уравнения.
	4		6				2	5								1	8		23
а) 2			1	X 1				3 ,									0 2
а) 2			1	X 1				3 ,				X			16		0 2				;

	1	2					2	3			1		3								1 25		25
b)				X												,	X						2		;
b)				X												,	X								;
	2		3				4	1				4 2									70 26
	1 2				3				1			3	0								6 4		5
c)		3 2			4 X				10			2 7				,							2
c)		3 2			4 X				10			2 7				,		X 2 1					2	;


	2		1			0			10			7 8
	2		1			0			10			7 8									3 3		3
												21

		5					3				1						8				3 0			1 2	3

d) X				1			3																X			.
d) X				1			3			2							5				9 0 ,		X	4 5	6	.
											1
		5 2									1						2 15					0		7 8	9
		8.		Решить системы уравнений.
	2x 3y z 7,																							2x y 3z 3,
a)	x 4y 2z 1,																		( 1,1, 2);				b)	3x y 5z 0,

	x 4y 5.																							4x y z 3.
( 1,1, 2);
	x 2y 3z 1,											1				1			1			x y 5z 1,
												1				1			1
c)	3x 2y z 1,													,				,		;	d) x y 3z 3,				( 1,1, 2).
c)	3x 2y z 1,													,		6		,		;	d) x y 3z 3,				( 1,1, 2).
												6				6			6
	2x 3y z 1.																					2x y 3z 3.
		9. Решить системы уравнений.
	5x1 x2 2x3 x4 7,
a) 2x1 x2 4x3 2x4 1,
	x 3x					2	6x			3	5x				4		0.
		1				2				3					4
	x1 2x2 3x3 4x4 4,
				x2			x3 x4						3,
b)				x2			x3 x4						3,									( 8,3 x4,6 x4,x4);
	x1 3x2										3x4 1,
			7x2				3x3				x4 3.
			7x2				3x3				x4 3.
	2x1 x2 x3 4,
c)	x		3x				x			5,										(1,2, 2);
c)		1	x			2			3	7,										(1,2, 2);
		x	x		2	5x			3	7,
		1			2				3
	2x			3x			2	3x			3	14.
		1					2				3
																					22

x1 2x2 x3 x4 1,
d) x1	2x2		x3		x4	1,		(x1,x2, x1 2x2,1).
x	2x	2	x	3	5x	4	5.
1

10. Найти решения однородных систем.

3x 2y z 0,

a)2x 5y 3z 0,

3x 4y 2z 0. (0,0,0);

x y 2z 0,

c)2x 2y 4z 0,

5x 5y 10z 0.

(y 2z, y,z) ;

2x 3y z 0,

b)x y z 0,3x 2y 3z 0.

(t ( 4, 1,5), t R);

2x1 4x2 5x3 3x4 0, d) 3x1 6x2 4x3 2x4 0,

4x1 8x2 17x3 11x4 0.

				5				7		5
x ,x			,		x	5x		,	x 7		x		.
x ,x			,	2	x	5x		,	x 7	2	x		.
	1	2		2	1		2	2	1	2		2

2. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

Литература: [1, гл.7, §§ 44-47; гл.8, §§ 48-52; гл. 9, §§ 53, 54; гл. 10, §§ 55-58], [3, гл. 2, § 1-3].

Вектором называется направленный отрезок.

Если вектор определяется двумя заданными точками - его началом A(x1, y1,z1) и концом B(x2, y2,z2) , то проекции вектора a AB на координатные оси (координаты вектора) оп-

ределяются

формулами

ax x2 x1,

y2 y1,

az z2 z1,

то есть

ax,ay ,az .

Длина

вектора

ax,ay ,az определяется

формулой

ax2 a2y az2

Проекций вектора a на ось l называется скалярная величина, равная произведению его длины на косинус угла между положительными направлениями оси и вектора

al пр.l a a cos .

Если , , - углы, образованные вектором a с осями прямоугольной системы координат Ox, Oy, Oz , то проекции вектора a на координатные оси равны

cos ,

cos

(cos2 cos2 cos2 1).

Числа

cos , cos , cos называются направляющими

косинусами вектора

- векторы единичной длины, направленные

Если i

j, k

по координатным осям Ox, Oy, Oz , то вектор

может быть

представлен

виде

ax,ay,az axi

, где

i, j, k - вектора , составляющие декартовый базис.

Скалярным произведением векторов a и b называется число, равное произведению их длин на косинус угла между ними

a,b a b cos .

Скалярное произведение обладает переместительным и распределительным свойствами

a,b b,a ;

(a b),c a,c b,c .

Если векторы заданы координатами a ax,ay ,az , b bx,by,bz , то их скалярное произведение определяется по формуле

a,b axbx ayby azbz ,

а угол между ними соотношением -

cos

axbx ayby azbz

ax2 ay2 az2 bx2 by2 bz2

Физический смысл скалярного произведения. Скалярное

произведение

векторов

есть работа постоянной силы

(

), совершенная вдоль прямолинейного перемещения (

Векторным произведением векторов

называется

вектор

, определяемый условиями:

sin , где - угол между векторами

;

вектор

перпендикулярен плоскости, определяемой пе-

ремножаемыми векторами

;

вектор

направлен так, что наблюдателю, смотрящему

из его конца на векторы a и b , видно, что кратчайшее враще-

ние от a к b производится против часовой стрелки (тройка векторов правая).

Геометрический смысл векторного произведения. Модуль

векторного произведения векторов a и b есть площадь параллелограмма, построенного на этих векторах, выходящих из одной точки.

Основные свойства векторного произведения:

a b b a ;

(a b) c a c b c .

Если векторы заданы координатами a ax,ay,az , b bx,by,bz , то их векторное произведение определяется по

формуле

Пример. Даны векторы a 2;5;7 , b 1; 2;4 . Найти

координаты векторного произведения																						.
координаты векторного произведения																			a		b	.
			Решение. По формуле вычисления векторного
произведения								находим

				i			j		k			5 7			2 7			2		5
				i			j		k
		b
	a			2	5			7			i			j			k				6i j k.
	a			2	5			7			i	2	4	j	1	4	k	1		2	6i j k.
				1	2			4
				1	2			4
			Итак,							6; 1; 1.
			Итак,			a			b	6; 1; 1.
			Смешанным произведением трех векторов																					,		и		на-
			Смешанным произведением трех векторов																				a	,	b	и	c	на-

зывается их векторно-скалярное произведение a b ,c . Если векторы заданы своими координатами, то их сме-

шанное произведение вычисляется по формуле

			,		ax	ay	az
	a	b	,	c	bx	by	bz	.
					cx	cy	cz
Геометрический смысл смешанного произведения. Сме-

шанное произведение a b ,c равно объему V параллелепи-

педа, построенного на векторах a, b, c , взятому со знаком

«+», если тройка a, b, c - правая, и со знаком «-», если тройка a, b, c - левая. Если же a, b, c компланарны, то a b ,c =0.

Пример. В пространстве даны четыре точки: A(1;1;1),

B (4;4;4), C(3;5;5), D (2;4;7). Найти объем тетраэдра ABCD.

Решение. Объём V тетраэдра ABCD равен одной шестой

объема параллелепипеда,

построенного

на векторах

, то есть одной шестой абсолютной величины

смешанного произведения

Найдем это сме-

шанное произведение. Прежде всего определим координаты


векторов										AB			,		AC		,	AD		.	Имеем:				AB	3;3;3 ,	AC	2;4;4
					1;3;6 . Тогда
	AD				1;3;6 . Тогда
								,						=
		AB				AC		,			AD			=
			3	3			3					4 4							2 4			2 4


			2	4			4		3							3					3			3 12 3 8 3 2 18.
			2	4			4		3			3 6				3					3	1	3	3 12 3 8 3 2 18.
			1	3			6					3 6							16			1	3
			1	3			6

Отсюда V = 1 18 = 3. 6

Задачи для самостоятельного решения: [4, №№ 749, 751, 754, 774, 777, 782, 783, 789, 802, 816, 819, 832, 842, 850, 853, 867, 874, 875].

Задачи для самостоятельного решения

1. Даны точки A(3; 1;2) и B( 1;2;1) . Найти координаты

векторов AB и BA.

2. Определить точку N , с которой совпадает конец вектора a 3; 1;4 , если его начало совпадает с точкой

M(1;2; 3).

3.Определить начало вектора a 2; 3; 1 , если его конец совпадает с точкой (1; 1;2).

		4.		Вычислить направляющие косинусы вектора
a		3	4		12
			;		;	.

	13 13				13
		5.	Вектор составляет с осями OX и OY углы 120 и

450 . Какой угол он составляет с осью OY ?

6.Даны a 13, b 19 и a b 24. Вычислить a b .

Векторы

образуют

угол

60 , причем

8. Определить

8. Даны векторы

3; 2;6 и

2;1;0 . Определить

координаты следующих векторов:

а)

;

б)

;

в)

9. Найти орт вектора

6; 2; 3 .

10.

Определить

модули

суммы и

разности векторов

3; 5;8

1;1; 4 .

11. Векторы

образуют угол

; зная, что

2 ;

вычислить:

а)

;

б)

в)

(

)2 ;

г)

),(

) ;

д)

)2.

12. Даны векторы

, удовлетворяющие условию

=0.

Зная,

что

вычислить

13.

Векторы

образуют

угол

;

зная,

что

вычислить

угол

между

векторами

p a b и q a b .

14. Даны точки A(1; 2;2) ,

B(2; 1;5) и

C(0;1; 5) . Вы-

числить: а) (2

) ; б)

),(2

;

в)

15. Вычислить работу силы

2j k при перемеще-

нии материальной точки из положения А( 1;2;0) в положение

С(2;1;3).

16.Вычислить косинус угла, образованного векторами a 2; 4; 4 и b 3;2;6 .

17.Даны вершины треугольника A( 1; 2;4), B( 4; 2;0)

и C(3; 2;1). Определить его внутренний угол при верши-

не B .

18.

Найти вектор

коллинеарный вектору

i 2

, образующий с ортом

острый угол и имею-

щий длину

15.

19.

Найти вектор

, образующий со всеми тремя базис-

ными ортами равные острые углы, если

20. Найти координаты вектора x , коллинеарного вектору a 2;1; 1 и удовлетворяющего условию a,x 3.

21.

Вектор

перпендикулярен векторам

a1 2;3; 1 ,

2 1; 2;3

удовлетворяет

условию

(2i

j k) 6.

Найти координаты

22.

. Вычислить:

2 )

а)

;

б)

2 ) (

a1 2

;

в) (a1 3a2 ) (3a1 a2 ) .

23.a b 5, (a,b) 4. Вычислить площадь треуголь-

ника, построенного на векторах

и 3

24. Заданы векторы

a1 {3; 1;2}

2 {1;2; 1}. Найти

координаты векторов: а)

2 ;

б)

2 )

2 ;

в) (2

2 ) (2

2 ) .

25. Вычислить площадь треугольника с вершинами

A(1;1;1), В(2;3;4) и С(4;3;2).

<<< < Предыдущая 1 23 / 153 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.20221.51 Mб3Учебное пособие 1618.pdf
#
30.04.20221.52 Mб2Учебное пособие 1619.pdf
#
30.04.2022308.13 Кб2Учебное пособие 162.pdf
#
30.04.20221.53 Mб2Учебное пособие 1620.pdf
#
30.04.20221.53 Mб4Учебное пособие 1621.pdf
#
30.04.20221.53 Mб1Учебное пособие 1622.pdf
#
30.04.20221.55 Mб2Учебное пособие 1623.pdf
#
30.04.20221.55 Mб5Учебное пособие 1624.pdf
#
30.04.20221.55 Mб2Учебное пособие 1625.pdf
#
30.04.20221.55 Mб2Учебное пособие 1626.pdf
#
30.04.20221.55 Mб9Учебное пособие 1627.pdf