Учебное пособие 1622

ское уравнение окружности радиуса а с центром в начале координат.

В случае x2 y2 0 – уравнение определяет точку.

Эллипс - кривая симметричная относительно оси х и у. Величины а и b называются большой и малой полуосями эл-

липса, т.к. а b. (Эллипс проходит через точки (0,b) и (а,0) или (0, -b) и (- а,0), которые называются вершинами эллипса). Эллипс непрерывная замкнутая кривая, которая находится внутри прямоугольника x а; у b.

Если полуоси эллипса а = b, то это окружность радиуса R = а = b с центром в начале координат. Эллипс может быть получен путем равномерного сжатия окружности радиуса а.

перболы с полуосями а и b.

Величины a и b называются соответственно действительной и мнимой полуосями гиперболы. Главными осями гиперболы являются оси координат, а центром гиперболы – начало координат. Ось 0х - действительная ось гиперболы (так

x a; 0у – мнимая ось (так как не имеет с гиперболой об-

Точки А(-а,0) и В(а, 0) – вершины гиперболы, точки, в которых гипербола пересекает ось 0х. Ветви гиперболы приближаются к диагоналям прямоугольника определяемым уравнениями

70

ISBN 978-5-7731-0650-0

, которые называются асимптотами гиперболы.

3) y2 2px ,(p 0) - каноническое уравнение параболы.

Парабола симметрична относительно оси 0х. Точка пересечения с осью симметрии называется вершиной параболы. Величина р – называется параметром параболы. Если р 0, то вся парабола расположена в правой полуплоскости 0ху (для р 0 парабола расположена в левой полуплоскости).

Для приведения общего уравнения кривой к каноническому виду в случае, когда коэффициент В=0, необходимо выделить полный квадрат суммы или разности в правой части уравнения.

Пример. Привести уравнение кривой к каноническому виду и построить линию, определяемую уравнением

71

y

Рис. 1 Пример. Привести уравнение кривой к каноническому

виду и построить линию, определяемую уравнением x2 4y2 4x 8y 4 0 .

Решение. Выделяя полные квадраты, преобразуем левую часть уравнения. Имеем

(x2 2 2x 4 4) 4(y2 2y 1 1) 4 0;

O 2 x

Рис. 2

72

Пример. Привести уравнение кривой к каноническому виду и построить линию, определяемую уравнением

x2 y2 6x 10 0.

Решение. Выделяя полные квадраты, преобразуем левую часть уравнения. Имеем

(x2 2 3x 9 9) y2 10 0; (x 3)2 y2 1;

y2 (x 3)2 1.

Вводя новые координаты X x 3,Y y, получаем

Y2 X 2 1 - уравнение гиперболы, для которой действительной осью является ось OY , а центр расположен в точке

O1 3;0 .

y

Y

1

O1

Рис. 3

Пример. Привести уравнение кривой к каноническому виду и построить линию, определяемую уравнением

2x2 2y 4x 3 0.

Решение. Выделяя полный квадрат , преобразуем левую часть уравнения. Имеем

73

y5 (x 1)2. 2

Вводя новые координаты X x 1,Y y 5 , получаем

y

5/2 O1

Рис. 4

Задачи для самостоятельного решения

1. Даны точки A(0;0), B(3; 4), C( 3;4), D( 2;2) и

E(10; 3). Определить расстояние d между точками: 1) A и B ; 2) B и C ; 3) A и C ; 4) C и D; 5) A и D;

6)D и E .

2.Даны две смежные вершины квадрата A(3;7) и

B( 1;4). Вычислить его площадь.

3.Даны две противоположные вершины квадрата P(3;5)

иQ(1; 3). Вычислить его площадь.

74

4. Вычислить площадь правильного треугольника, две вершины которого суть A( 3;2) и B(1;6).

лежат на одной прямой.

7. Даны вершины треугольника A(1; 3), B(3; 5) и

C( 5;7). Определить середины его сторон.

8. Даны две смежные вершины параллелограмма A( 3;5),

B(1;7) и точка пересечения его диагоналей M(1;1). Определить

две другие вершины.

9. Прямая проходит через точки A(7; 3) и B(23; 6). Найти точку пересечения этой прямой с осью абсцисс.

10.Вычислить площадь треугольника, вершинами

которого являются точки: 1) A(2; 3), B(3;2) и C( 2;5) ;

2)M(3; 4), N( 2;3) и P(4;5) .

11.Определить площадь параллелограмма, три вершины которого суть точки A( 2;3), B(4;5) и C( 3;1) .

12. Найти точку пересечения прямых 3x 4y 29 0 и

2x 5y 19 0.

x 2y 1 0 и y 1 0.

19.Даны две смежные вершины A( 3; 1) и B(2;2) параллелограмма ABCD и точка Q(3;0) пересечения его диагоналей. Составить уравнения сторон этого параллелограмма.

20.Найти точку M1 симметричную точке M2(8; 9)

относительно прямой, проходящей через точки A(3; 4) и

B( 1; 2).

21. Точка A( 4;5) является вершиной квадрата, диагональ которого лежит на прямой 7x y 8 0. Составить уравнения сторон и второй диагонали этого квадрата.

22. Даны две противоположные вершины квадрата А(-1;3) и С(6;2). Составить уравнение его сторон

23.Даны три вершины А(3;-4;7), B(-5;3;-2) и С(1;-2;3)

параллелограмма АВСD. Найти его четвертую вершину D, противоположную В.

24.На оси абсцисс найти точку M , расстояние которой от точки А(3;-5) равно 5.

25.На оси ординат найти точку M , равноудаленную от

точек А(1; 4;7) и В(5;6; 5).

26.Даны вершины треугольника А(3; 1;5), В(4;2; 5) и С( 4;0;3). Найти длину медианы, проведенной из вершины А.

27.Найти длины сторон и величины углов треугольника

свершинами А( 1; 2; 4), В( 4; 2;0) и С(3; 2;1).

28.Заданы прямая L и точка М. Требуется:

76

1)вычислить расстояние (М,L) от точки М до прямой L;

2)написать уравнение прямой L проходящей через точку М перпендикулярно заданной прямой L;

3)написать уравнение прямой L , проходящей через точку М параллельно заданной прямой L.

Исходные данные:

В задачах 29 33 исследовать взаимное расположение за-

1)написать уравнение стороны АВ;

2)написать уравнение высоты СD и вычислить ее дли-

ну h CD ;

и внешнего углов при вершине А.

Исходные данные: а) А(1, 2), В(2, 2), С(6, 1); б) А(2, 2), В(6, 1), С( 2, 0).

77

35. Составить уравнение прямой, которая проходит через точку М(8,6) и отсекает от координатного угла треугольник с площадью, равной 12.

36. Привести уравнения кривых к каноническому виду и построить линии, определяемые уравнениями:

1)9x2 4y2 18x 8y 23 0;

2)4x2 9y2 16x 18y 11 0;

3)x2 4y2 6x 16y 11 0;

4)9x2 4y2 18x 8y 31 0;

5)y 3x2 6x 5 0;

6)x y2 3y 4.