Учебное пособие 1622

Теорема (теорема Крамера). Если определитель системы отличен от нуля, то система линейных уравнений имеет единственное решение, определяемое по формулам Крамера

Если определитель системы равен нулю 0, а хотя бы один из вспомогательных определителей отличен от нуля, то система уравнений несовместна.

Если определитель системы 0, и все вспомогательные определители равны нулю x 0, 0, 0, то систе-

ма уравнений имеет бесчисленное множество решений.

Пример. Решить систему уравнений с помощью формул Крамера

x 2y 3z 3

4x y 4z 5 .3x 5y 2z 8

Решение. Решим систему, применяя формулы Крамера. Определитель системы:

следовательно, система имеет единственное решение. Вычисляем определители x , y , z :

10

1.4. Обратная матрица.

Решение систем линейных уравнений матричным методом

Квадратная матрица, обозначаемая A 1, называется

обратной матрице A, если AA 1 A 1A E .

Для того чтобы матрица А имела обратную матрицу, необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной, т.е. чтобы определитель матрицы был не равен нулю. Обратная матрица определяется по формуле

нение элемента aij в определителе матрицы А.

С помощью обратной матрицы решаются матричные уравнения вида AX B или YA B. Умножая первое уравне-

ние слева, а второе справа на матрицу A 1, получим

X A 1B, Y BA 1.

11

Пример. Решить систему уравнений

2x 5y 7z 14,

6x 3y 4z 13,

5x 2y 3z 0.

Решение. Вычислим определитель системы: 1 0 . Следовательно, матрица, составленная из коэффициентов системы невырожденная. Запишем систему в матричной форме, для чего введем матрицы

Выполним умножение АХ и приравняем результат матрице В

Из условия равенства матриц получим рассматриваемую систему. Таким образом, система может быть записана в мат-

ричном виде AX B. Следовательно, ее решение X A 1B.

Для нахождения обратной матрицы A 1 вычислим алгебраические дополнения;

Таким образом, обратная матрица имеет вид

12

Имеем: x 1, y 1, z 1. Подставим найденное решение в исходную систему уравнений и убедимся в правильности полученного результата.

1.5. Метод Гаусса

Пусть дана система n уравнений с m неизвестными

Введем в рассмотрение расширенную матрицу системы A/ B , дополним матрицу системы А столбцом свободных членов:

13

Теорема (теорема Кронекера-Капелли; критерий со-

вместности системы). Система линейных алгебраических уравнений совместна (имеет решение) тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы.

Рангом матрицы называется наивысший порядок отличного от нуля минора матрицы.

Более детально:

1) если rangA rang A/B , то система несовместна, т.е. реше-

ние не существует;

2) если rangA rang A/ B r , то система совместна, т.е. су-

ществует хотя бы одно решение; при этом:

а) если ранг равен числу неизвестных r n, то система имеет единственное решение;

б) если ранг меньше числа неизвестных r n, то система имеет бесконечное множество решений, которое можно найти методом Гаусса, последовательного исключения неизвестных.

Суть метода Гаусса в том, чтобы с помощью элементарных преобразований расширенную матрицу системы

(привести к нулю элементы, стоящие под главной диагональю).

14

Элементарными преобразованиями первого рода матрицы называются следующие действия:

1)умножение какой-либо строки матрицы на число 0;

2)перестановка двух строк;

3)прибавление к элементам одной строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на число .

Элементарными преобразованиями второго рода называются аналогичные действия со столбцами.

Матрицы, получаемые друг из друга элементарными преобразованиями, называются эквивалентными и соединяются знаком ~ . Эквивалентные матрицы имеют равные ранги.

Предположим, что a11 0. Тогда, умножая первую строку на ( a21 /a11) и прибавляя ко второй строке, умножая первую строку на ( a31 / a11) и прибавляя к третьей строке, и т.д., получим нулевые элементы в первом столбце под элементом a11. Далее, подобные операции проводим со второй строкой для получения нулей во втором столбце ниже элемента a22 , который, напоминаем, был пересчитан на первом этапе. После производим аналогичные операции с третьим столбцом и т.д.

В результате получаем расширенную матрицу, соответствующую системе уравнений

l11x1 l12 x2 l1r xr l1,r 1xr 1 l1n xn c1,

Присутствие хотя бы одного из неверных числовых равенств в нижней части системы говорит о несовместности системы (отсутствии решений).

15

Если же все сr 1 , …cm равны нулю, то система уравне-

ний совместна. Тогда эти верные числовые равенства можно

Здесь ( xr 1,...xn ) – свободные переменные, им можно придавать произвольные значения. Неизвестные x1,...,xn на-

зываются базисными и определяются по значениям свободных неизвестных. Из последнего уравнения находим xr , далее найденное xr подставляем в предпоследнее уравнение, нахо-

дим xr 1 и т.д..

Пример. Решить систему уравнений:

на( 3 ) и складываем с 3-й строкой. Получаем

11

16

z = 1; y=1; x=1.

Пример. Решить систему уравнений:

x y z 1

2x y z 2 .3x 2y 2z 3

Решение. Преобразуем расширенную матрицу системы:

тогда x =1, y = -t, z = t.

Пример. Решить систему уравнений или доказать ее не-

17

Решение. Выпишем расширенную матрицу системы, поменяв местами первые два уравнения

Последовательно умножая первую строку на -2, - 3, -4 и складывая со второй, третей и четвертой строками соответственно, получим

Последняя матрица получена из предыдущей умножением второй строки на -2 и на -3 и прибавлением к третьей и четвертой строкам соответственно. В левом верхнем углу находится минор второго порядка отличный от нуля. Видим, что ранги матрицы системы и расширенной матрицы равны двум. Следовательно, система совместна. Выпишем уравнения, соответствующие этим строкам матрицы, считая неизвестные, не входящие в выделенный минор, параметрами. Получим

x1 x2 x3 x4 2x5 .3x2 3x3 3x4 5x5 1

Решим полученную систему уравнений относительно x1

и x2 , считая остальные неизвестные произвольными числами.

18

Задачи для самостоятельного решения

1. Вычислить определители (в скобках указан ответ)

3. Найти многочлен от матриц

19