Учебное пособие 1622

Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Пример. Найти lim

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

1.53 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 159 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

5. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

Литература: [2, гл. 2, §§ 2 7, раздел 3, гл. 2, §§ 1 8, 10 16].

5.1. Основные теоремы о пределах функции. Раскрытие простейших видов неопределенностей

При практическом вычислении пределов следует использовать следующие теоремы: если существуют конечные пре-

делы

lim f (x) A

lim g(x) B, то

x a

а)

lim f x g x A B ,

б)

lim f x g x A B ,

x a

в)

lim

f x

, если

В 0,

г)

lim f x g x AB.

(5.1)

x a g x

x a

Все эти формулы верны и при х .

Пример.

Найти lim

3x2 4x 7

x 1 2x2 5x 6

Решение. Применяя формулы (5.1), получим

4x 7

lim 3x2

4x 7

lim

x 1

lim 2x2

5x 6

x 1 2x2

5x 6

x 1

lim 3x2 lim 4x lim 7

3 1 4 1 7

x 1

= 2.

lim 2x2 lim

5x lim 6

2 1 5 1 6

x 1

Пример. Найти lim 3x x2 .

x 2

Решение. По формуле (1) lim 3x x2 = 64= 1296.

x 2

Часто приходится иметь дело с пределами отношения бесконечно малых величин, отношения бесконечно больших величин, произведения бесконечно малой и бесконечно большой величины, которые в зависимости от частного закона изменения рассматриваемых величин могут принимать различные значения или даже не существовать. Выражения вида

0 , , 0 , , 1 называются неопределенностями.

Пример.	Найти lim	x	2 5x 6
				.

	x 2		x2 2x
Решение.	При х 2	пределы числителя и знаменателя

дроби равны нулю. В этом случае говорят, что получается не-

определенность вида 0 . Чтобы раскрыть указанную неопре-

деленность, стоящие в числителе и знаменателе многочлены нужно разложить на множители, выделив множитель (х 2). После этого дробь сократить и перейти к пределу. Имеем

x2 5x 6

x 2 x 3

x 3

lim

= lim

x 2

x2 2x

x 2

x(x 2)

x 2 x

Пример.

Найти

lim

x2 9

x 3

x 1 2

Решение. Здесь также имеем неопределенность вида 0

. Для раскрытия этой неопределенности умножим числитель и знаменатель дроби на выражение x 1 2 , которое называется сопряженным знаменателю. Упростив, перейдем к пределу и получим

= lim

(x2 9)(

x 1

lim

x 3 x 1 2 x 3 ( x 1 2)( x 1 2)

= lim	(x 3)(x 3)( x 1 2)			= lim	(x 3)(x 3)(	x 1 2)

x 3			2 22	x 3	x 3
		x 1

= lim (x 3)(x 1 2) 24.

x 3
Пример. Найти lim	6x2	5x 4
			.

x 2x2		7x 2

Решение. При x числитель и знаменатель дроби неограниченно растут. В этом случае говорят, что имеет место

неопределенность вида . В этом случае необходимо раз-

делить числитель и знаменатель дроби на xn , где n – старшая

из степеней. Разделим числитель и знаменатель на x2 , после чего перейдем к пределу:

															5							4										5	4
															5							4						lim			6	5	4

														6
	6x2		5x 4											6							x		2											x2			6
lim	6x2		5x 4							= lim							x				x		2		=		x					x		x2			6	3.
lim		2								= lim					7						2				=							7	2				2	3.
x	2x	2	7x 2								x			2	7						2																2
																												lim			2
																						2

																x				x															2
																x				x							x					x		x	2
																		2 6x 5																x
	Пример.											lim				7x		2 6x 5
							Найти																						.
							Найти																						.
												x 4x3 8x2 2
	Решение. Имеем неопределенность вида																																			Разделим
																																		.
																																		.

числитель и знаменатель дроби на x3 и получим
			7		6					5				7				6						5
												lim
												lim
	lim		x	x2			x3					x x						x2								x3				0 0 0					0	0.
	lim																	8																		0.
	x		4		8				2									8						2						4 0 0 4
													lim		4
						x		x3					lim		4
						x		x3					x						x					x3

Неопределенность вида раскрывается путем све-

дения ее к неопределенностям вида 0 или .

Решение. Здесь имеется неопределенность вида . Преобразовав исходное выражение путем приведения к общему знаменателю, получим рассмотренную выше неопределен-

ность вида	0	:

0
				1
lim

x 3
		x 3
Пример.			Найти

x 3

= lim

x2 9

x 3 x2 9

x 3 x 3

lim

x .

1 .

Решение. Имеем неопределенность вида . Умножим и разделим заданное выражение на сопряженную величи-

ну, после чего придем к неопределенности вида :

lim

x2 x

x2 x x2 x

=lim

x2 x x2 x

lim

x2 x x2 x

=lim

lim

1 0 1 0

Задачи для самостоятельного решения: [1, гл.1, §4, №№ 4.12 4.15, 4.18, 4.24, 4.27, 4.30 4.32, 4.34].

5.2. Замечательные пределы

При вычислении пределов трансцендентных функций

для раскрытия неопределенностей вида 0 и 1 часто

используются первый и второй замечательные пределы:

lim

sin x

x 0

lim

(1 ) е 2,71828.

(5.2)

sin 7x

Пример.

Найти lim

x 0 sin 3x

Решение. Имеем неопределенность

. Используя, пер-

вый замечательный предел, получим

sin 7x

sin7x

7x lim

sin7x

7 1

lim

=lim

lim

x 0

x 0 sin 3x

x 0

sin3x

x 0

3x lim

sin3x

3 1 3

x 0

Пример. Найти lim

1 cos5x

x 0 x2

Решение. Имеем неопределенность вида

. Используя

тригонометрическую формулу (1 cosx 2sin2

) и первый

замечательный предел, получим

1 cos5x

2sin2

sin

lim

=lim

lim

x 0

5x 2

2 x 0

x 0

2x 1 3x 1

Пример. Найти lim . x 2x 1

Решение. Предел основания при x равен 1 (его можно вычислить рассмотренным ранее способом), а предел показателя при x равен . Поэтому здесь мы имеем дело с

неопределенностью вида 1 , для раскрытия которой используется второй замечательный предел. Преобразуем исходное выражение, почленно разделив числитель основания на знаменатель. Получим

	2x 1 3x 1		2x 1 2 3x 1		2	3x 1
lim		= lim		lim 1
	2x 1		2x 1
x		x		x	2x 1

Сведем задачу ко второму замечательному пределу:

2x 1

lim

2(3x 1)

2x 1

2(3x 1)

2 2

lim

2x 1

lim 1

e x

e3.

2x 1

Пример. Найти

lim 1

x 0

Решение. Преобразовав данную функцию, воспользуемся

вторым замечательным пределом. Тогда

x x

lim 1

=lim 1

x 0

0 , 00 , 0

5.3. Раскрытие неопределенностей вида

Неопределенность вида 0

сводится к рассмотрен-

ным выше неопределенностям вида

или

с помощью

тождественного преобразования заданной функции.

Пусть lim	f (x) 0, а lim	g(x) .Тогда
x a	x a	f (x)		g(x)
lim	f (x)g(x) lim		lim		.

x a	x a1 g(x)		x a1 f (x)

Пример. Найти lim

sin

Решение.

Имеем неопределенность вида 0 . Сведем

ее к неопределенности вида

и воспользуемся первым за-

мечательным пределом. Будем иметь

sin

lim 2

sin

=lim

4 lim

4 1 4.

Пусть

теперь

lim f (x) 0

или

lim g(x) 0. В

x a

этом случае при вычислении предела

lim

f (x)g(x) мы имеем

x a

дело с неопределенностями вида 00 или 0 . Эти неопределенности преобразуются к неопределенностям вида 0 с

помощью тождества f (x)g(x) eg(x)ln f (x) ( f (x)

сводятся к неопределенностям вида или

Задачи для самостоятельного решения: [3, 695; 4, гл. 1, 4.36 4.42, 4.49 4.53, 4.58].

0) и далее

№№ 657

Задачи для самостоятельного решения

Вычислить пределы следующих выражений:

x2 2

x2 3

lim

. 2.

lim

. 3. lim

x 0 3x2 5x 1

x 3 x2 3

x 2 2 x

8 x3

2x 1

5. lim

(x h)3

8x3 1

lim

x 1

h 0

6x2 5x 1

(a 1)x a

lim

2x 1

x a

lim

x4 5x

10.

(x 1)5

(x 2)5 (x n)5

n H.

lim

x x2

3x 1

x a

x5 n5

11. lim 3x 1 .

x 5x 3 x

13.	lim	x			x 1 1

	x 1			x2 1

15.	lim		x2		4	2	.

	x 0		x2 9			3

12. lim	x 1 3	.
12. lim		.
x 10	x 10

(x 1).	14. lim			2x	.


	x
	x			3x 3x
			3x	3x 3x

16. lim (x a x).

17.lim(4x2 7x 4 2x).

Используя замечательные пределы, вычислить:

18.

lim

sin 3x

19.

lim

sin7x

20. lim xctg x.

x 0

x tg3x

x 0

21.

lim

3arcsin x

22.

lim

1 cos2x

. 23. lim

cos x cos x

x 0

24.lim

ctgx . 25. lim

sin

. 26. lim

2 2cosx

x 0 sinx

										x 3		2x 1		x2				5	x2
27.	lim			x tgx. 28.					lim			. 29.		lim					.
27.	lim			x tgx. 28.					lim			. 29.		lim		2			.
		2							x x 2							2
	x													x x				5
	x													x x				5
	2				1
					1										ax			a
30.	lim(cosx)x					2	. 31.	lim	x[ln(2 x) ln x].				32.	lim	ax			a	.
30.	lim(cosx)x						. 31.	lim	x[ln(2 x) ln x].				32.	lim					.
	x 0							x						x 1 x 1
	Вычислить односторонние пределы:
			x 3							2 x							1
33.	lim		x 3			.	34.	lim		2 x	.	35.	lim (2 x)x .
33.	lim		x 3			.	34.	lim			.	35.	lim (2 x)x .
	x 3		x 3					x 2 4 x2					x 0

36.lim 72 x. 37. lim arctgx.

x 2 x

Найти пределы:

38.

lim

4x 1

39.

lim

tg2x

40.

4x2 1

lim

x 13x

2 x 2

sin 4x

3x 5

7x2 5x 1

41.

lim

42.

lim

x 3 14x2

43.

x2 x 1

44.

sin10x

45.

1 cos2x

lim

sin 9x

x 0

xsin x

tgx sin x

lim

46.

47. lim

4x .

x 0

48.

49.

cos(a x) cos(a x)

lim

x 2 x 1

x2 4

x 0

50.

lim

sin(x b) sin(x b)

51.

lim

2xsin x

x 0

x 0 sec2x 1

sin2 3x

52.

lim

53.

lim

x 1

x .

x 0

1 xsin x cosx

54.lim 5x 3. 55. lim xcosx 5(x2 3x 1).

x x 0


56.	lim	1 x2					1 x	.	57. lim			xtgx
56.	lim							.	57. lim
	x 0		1			1 x				x 01 cosx
	1		3					3		3
59.	1		3	x		60. lim		3	1 x	3	3x 1
	lim				.								.
	lim				.					6x			.
	x 11		5 x				x 0			6x

. 58. lim 1 2sin x.

x 6 x

61.	lim (secx tgx).
	x
	x
	2
								Ответы
1.	2.	2. 2.		3. .		4.	0.	5. 3x2.		6.		6. 7. (a 1)/3a2.									8. 1.4.
9. . 10.			n.	11.	3/5.		12.	1/6.	13.				/2.			14.					15.	3/2.
9. . 10.			n.	11.	3/5.		12.	1/6.	13.		2		/2.			14.			2/3.		15.	3/2.
16.	0.	17. 7/4.			18.		3.	19.	7/3.	20. 1/ .								21. 3/4.			22. 2.
23.	( 2	2)/2.			24.		0.	25. / .		26.							/4. 27. 1. 28. e10.
23.	( 2	2)/2.			24.		0.	25. / .		26.						2	/4. 27. 1. 28. e10.
29.	e10.		30. e 1/2.			31. 2.		32. alna.				33. +1,						1. 34. ,				+ .
35.	+ ,		0.	36.	0,	+ .		37.	2,	2.						38. 2/3.					39.	1/2.
40.	1/3.		41.	1/2.	42.		0.	43.	1/2.	44. –10/9. 45. 2.											46.	1/2.
47.	–2.		48.	–1/4.		49.		2sina.		50.			cosb.					51.		1.	52. 9.
53. 1. 54. 25. 55.					5. 56. 1. 57.				2. 58.						.	59.		5/3.		60.		–1/9.
53. 1. 54. 25. 55.					5. 56. 1. 57.				2. 58.					3	.	59.		5/3.		60.		–1/9.
61.	0.
									89

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 159 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.20221.51 Mб3Учебное пособие 1618.pdf
#
30.04.20221.52 Mб2Учебное пособие 1619.pdf
#
30.04.2022308.13 Кб2Учебное пособие 162.pdf
#
30.04.20221.53 Mб2Учебное пособие 1620.pdf
#
30.04.20221.53 Mб4Учебное пособие 1621.pdf
#
30.04.20221.53 Mб1Учебное пособие 1622.pdf
#
30.04.20221.55 Mб2Учебное пособие 1623.pdf
#
30.04.20221.55 Mб5Учебное пособие 1624.pdf
#
30.04.20221.55 Mб2Учебное пособие 1625.pdf
#
30.04.20221.55 Mб2Учебное пособие 1626.pdf
#
30.04.20221.55 Mб9Учебное пособие 1627.pdf