Методическое пособие 659

до + /2. Так как изменяется в общем случае в пределах от

– до + , то для его определения необходимо пользоваться соотношениями

2.4. Прямая и обратная задачи кинематики при управлении манипулятором в сферической системе координат

Связь между декартовыми координатами x1, x2, x3 гру-

за массой m и обобщенными координатами 1, 2, r для расчетной схемы, представленной на рис. 1.3, имеет вид

x1 r sin 1 cos 2 ,

x3 r cos 1 cos 2 .

Уравнения кинематики для скоростей получаются в результате дифференцирования (2.16) по времени:

Обозначим q1= 1, q2= 2, q3=r. Тогда уравнения (2.16) можно представить в следующем виде:

40

r (x2 l)2 x12 x32 .

Скорости изменения обобщенных координат находим дифференцированием по времени уравнений (2.20):

1 x1 x3 x1 x3 ,

x12 x32

r x1 x1 (x2 l)x2 x3 x3 .

x12 (x2 l)2 x32

В первом уравнении системы (2.21) необходимо принимать значения arctg(x1/x3), которые ограничены пределами от

– /2 до + /2. Так как 1 изменяется в общем случае в пре-

делах от – до + , то для его определения необходимо пользоваться соотношениями:

41

Угол 2 изменяется в пределах от – /2 до + /2, его

значения вычисляются по (2.20) с учетом того, что 2 = /2

при x1 = x3 = 0.

2.5. Прямая и обратная задачи кинематики при управлении манипулятором в угловой системе координат

Согласно расчетной схеме рассматриваемого манипулятора, приведенной на рис. 1.4, прямая задача кинематики решается в следующем виде:

Дифференцируя (2.25), можно получить выражение для матрицы J(q), входящей в векторное уравнение кинематики для скоростей (2.2). Это выражение слишком громоздкое и поэтому не приводится.

42

Из первого и третьего уравнений системы (2.23) получим

Обобщенные координаты 2 и 3 можно выразить из треугольников, представленных на рис. 2.1 и соответствующих верхней части рис. 1.4.

Рис. 2.1. Схема для определения обобщенных координат 2 и 3

Величины отрезков, изображенных на рис. 2.1, равны

Из треугольника ABC в соответствии с теоремой косинусов определяем углы 2'' и 3:

43

Таким образом, для обобщенных координат 2 и 3 из выражений (2.29)–(2.31) имеем

Уравнения (2.26), (2.32) и (2.33) позволяют решить обратную задачу кинематики для перемещений. Дифференцируя их по времени, получим уравнения для определения скоростей изменения обобщенных координат

Решение прямых и обратных задач о положении и скорости используется при формировании кинематических алгоритмов управления манипулятором.

44

2.6. Кинематические алгоритмы управления

Кинематические алгоритмы строятся по кинематическим уравнениям. Различают кинематические алгоритмы нулевого и первого порядка, если в качестве управляющих параметров используются соответственно кинематические переменные и их скорости изменения (первые производные по времени).

Рассмотрим особенности этих алгоритмов. Кинематический алгоритм нулевого порядка основан на

реализации соотношения

где qзад – вектор заданных значений обобщенных координат манипулятора;

Xзад – вектор заданных значений декартовых координат рабочего органа.

Уравнение (2.37) решает обратную задачу кинематики о положении, т. е. по координатам целевой точки в базовой системе отсчета определяет вектор обобщенных координат, который поступает на входы приводных систем робота в качестве задающих воздействий. Предполагается при этом, что алгоритмы приводной системы синтезированы, электроприводы замкнуты по положению, т. е. по координатам qs, s = 1, 2, 3, ..., n.

Особенность управления состоит в том, что оно осуществляется по разомкнутой схеме, текущее состояние исполнительного механизма не учитывается при формировании управляющих воздействий на приводы. Структурная схема, отвечающая рассмотренному алгоритму, приведена на рис. 2.2.

Рис. 2.2. Структурная схема системы, управляемой по положению

45

На рис. 2.2 приняты обозначения: ПС – приводная система; ИМ – исполнительный механизм.

Практическое применение алгоритмов нулевого порядка ограничено теми ситуациями, когда допустимо программное управление без обратных связей.

Кинематический алгоритм первого порядка использует решение обратной задачи кинематики для скоростей

где qзад(t) – вектор заданных значений скоростей обобщенных координат манипулятора;

X зад(t)– вектор заданных значений скоростей декартовых координат рабочего органа.

Вектор X(t) текущих базовых координат вычисляется по уравнению (2.1) и вектору q(t) измеренных значений скоростей обобщенных координат. При сравнении векторов Xзад(t) и

X(t) получается вектор X зад(t) корректирующих внешних скоростей, используемый для того, чтобы уменьшить ошибку позиционирования. Вектор qзад(t) требуемых скоростей сочле-

нений вычисляется из (2.38). Приводные системы, замкнутые по положению, отрабатывают командные значения обобщенных координат qзад(t), вычисленные путем интегрирования заданных скоростей q зад(t). Возможна и другая схема управле-

ния, в которой приводы, управляемые по скорости, непосредственно отрабатывают сигналы q зад(t).

Рассмотренный способ управления называется управлением по вектору скорости. Данный способ реализуется во множестве вариантов, отличающихся алгоритмами формиро-

вания вектора Х зад(t) по результату сравнения заданного Xзад(t) и фактического X(t) перемещений рабочего органа, способами решения уравнения (2.38), а также связи с конкретными приводными системами. Информацию об управлении по вектору скорости можно получить из [3], [4].

46

Рассмотрим один из вариантов синтеза управления по вектору скорости для трехкоординатного манипулятора, приводные системы которого замкнуты по положению.

Задачу сформулируем следующим образом. В начальный момент t = 0 положение контролируемой точки исполнительного механизма характеризуется значениями

Требуется осуществить движение, при котором контролируемая точка исполнительного механизма перемещается в

окрестность неподвижной точки Xзад = (xзад1, xзад2, xзад3)т. При этом процесс xs(t) xзадs должен соответствовать решению

дифференциальных уравнений

Эталонный процесс xsэ(t) xзадs реализуется в том случае, когда ускорение

поэтому будем определять требуемое ускорение из уравнения

xsэ (t) = asэ(xs, xs ) = K0s(xзадs – xs(t)) – K1s xs (t). (2.42)

После интегрирования выражения (2.42) получим уравнение для определения требуемой скорости

В векторной форме управление по вектору скорости описывается следующими уравнениями:

qэ(t) = t qэ(t)dt,

0

47

где K0 = diag{K0s}, K1 = diag{K1s} – диагональные матрицы. Структурная схема системы, управляемой по вектору

скорости, представлена на рис. 2.3.

В том случае, если приводные системы замкнуты по скорости, на них поступает вектор qэ без дополнительного

интегрирования.

Рис. 2.3. Структурная схема системы, управляемой по вектору скорости

Необходимо отметить, что равенство X(t) = Xэ(t) точно реализуется только в идеальном случае, когда требуемое зна-

чение qэ(t) (или qэ(t)) отрабатывается мгновенно, т. е. когда

система приводов и исполнительный механизм безынерцион-

ны. Чтобы эталонный процесс xsэ(t) xзадs был физически реализуем, числовые значения K0s, K1s необходимо назначать с

учетом динамики приводной системы и манипулятора.

Пусть динамика контуров управления по каждой степени подвижности аппроксимируется дифференциальными уравнениями

При s 2 /2 расчет параметров рекомендуется выполнять по формулам [5]

где Ns = 5–6.

48

Контрольные вопросы

1.Какие задачи возникают при управлении манипуляторами, и какие уровни включаются в состав системы управления для решения этих задач?

2.Какие виды управления применяются в манипуляционных роботах?

3.Дайте определение прямой и обратной задач кинематики и обоснуйте необходимость их решения.

4.Запишите кинематические уравнения в скалярной и векторной формах и поясните физический смысл входящих в них переменных.

5.Решите прямую и обратную задачи кинематики для манипулятора, работающего в цилиндрической системе координат.

6.Выведите уравнения, позволяющие определить декартовы координаты рабочего органа по обобщенным координатам для манипулятора, работающего в сферической системе координат.

7.Решите обратную задачу кинематики для манипулятора, работающего в сферической системе координат.

8.Получите выражения для решения прямой задачи кинематики для манипулятора, работающего в угловой системе координат.

9.Выведите уравнения, позволяющие определить обобщенные координаты манипулятора, работающего в угловой системе координат, по декартовым координатам рабочего органа.

10.Каковы особенности кинематического алгоритма управления по положению?

11.В чем сущность способа управления по вектору ско-

рости?

12.Получите структурную схему системы, построенной

всоответствии с кинематическим алгоритмом управления по скорости.

49